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みなさん、こんにちは。 かえるちゃんは受験生。この番組は、受験生であるかえるちゃんが勉強したことを、自分の言葉でアウトプットするためのポッドキャストです。
本日は、2つの円の位置関係について話します。
これは、図形と方程式とか、そういう座標平面があって、
それについての図形とか、式とかを考察していく、みたいな単元でよく問われると思うんですけど、
意外と曖昧で、で、今回ちょっとこれをミスって問題を間違えたので、
ちょっと復習をしたいなと思って話しています。
円が2つあった時に、大体5つの状態があります。
それを1個ずつ話していって、その時に2つの円の半径、
そして中心間の距離についての関係を話していきます。
今回は説明のために、円が2つあって、円①の半径をR1、
円②の半径をR2、そして2つの円の中心間の距離をDとして、
2つの円の関係を説明していきます。
では、1つ目から。
1つ目は、互いに他の外側にある場合。
これは一番離れていて、円と円は別々の場所にあって、
重なったりくっついたりしていないという状態です。
この時は、この状態になる必要十分条件は、
D大なりR1足すR2という式で表されるんですけど、
図で描いたら、円が2つあって、中心間の距離は2つの半径の和より長いですよという当たり前ですね。
図で描いたら一目瞭然なんですけど、ということを表しています。
そして2つ目。
1番の円がだんだんくっついて、外折している時。
外折というのは、円の外側と外側がぴったりくっついて、
1つの点を共有しているということですね。
この時の必要十分条件は、DイコールR1足すR2。
これも図を描いたら分かるんですけど、
半径同士の距離が、2つの半径の和と一致している時は、これは外折していると言えます。
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そして3つ目。
これが内折している時。
内折というのは、大きい円の内側に小さい円が入っていて、
1点をどこかで共有している場合です。
この場合は、Dイコール絶対値のR1-R2となっていて、
これは内側に入っているので、2つの円の半径の差が、中心の距離と、中心間の距離と等しくなります。
分からなくなったら図を描くのがいいと思います。
そして4つ目が、一方が他方の内側にある時。
これは大きい円の中に、小さい円が入っていて、1点も共有していない時です。
この時の必要十分条件は、DイコールD小なり絶対値のR-R2です。
3つ目と4つ目の状態で、絶対値が出てきました。
図で描いたら、どちらが大きいか、実際の半径が与えられていたら、どちらが大きいか分かります。
そうではない時は、絶対値をつけて考えます。
どちらが大きいか分からない時は、絶対値をつけて考えます。
具体的に数字が分かっていれば問題ないと思います。
普通に大きい方から小さい方を引けばいいです。
そして最後5つ目の状態なんですけど、円と円が2点で交わる時ですね。
これの必要十分条件は、絶対値R1-R2大なりD大なりR1-R2なんですけど、
これを覚えていなくて、問題を間違えたというか、問題は2点で交わる時はどういう条件ですか?
みたいな問題で、範囲を間違えて出しちゃったという感じなんですけど、
これを考える時に、この条件の式が三角形の成立条件と同じらしいんです。
2円が共有している時の図を書いて、そこに三角形を作るんですね。
1つ目の円の中心と2つ目の円の中心をまず結んで、
あともう1個の頂点が2円の共有点のうちの1つ、そこで三角形を作ると、
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一番長い辺が中心間の距離Dになって、その上の2つの辺がR1-R2ってそれぞれになります。
さっき言った条件式が成り立つ時に、三角形ができるから2点で交わるっていうことがわかるんですけど、
具体的な数字でやってみると、この式に当てはまらない辺の長さの三角形はできないっていうか、
たぶんポジないんですよね。三角形が。
なので2つの円も2点で交わらないっていうことになります。
で、これ私三角形の成立条件についても調べたんですけど、
公式自体は同じで、
この公式の証明は予言定理を使うとできるみたいなんですけど、
そこまで証明を使うかなって言われるとそうじゃないかなと思うので、
その証明を書いてくださっているサイトを概要欄に載せておきます。
とりあえずこの条件式を覚えて問題の中で使えるようにしていこうと思います。
それでは今回はここまでです。
お聞きいただきありがとうございました。
