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数学ナビゲーターしみと理系出身文系就職のゆとです。 ゆるゆる数学エッセンス始まりました。よろしくお願いします。
よろしくお願いします。一応今日からシーズン2というか、番組名変更でなれませんね。リニューアルですね。
そう、リニューアルってことで。このタイトルにつけた気持ちとかなんかあるんですか?
気持ち?こっちの方がむしろ本質かもなーって思うぐらい気に入ってますけど。 エッセンスって言葉、色々探したんだけど結構言葉は気に入ってて。
そういえば物理のエッセンスとか。 あーそうそうそう、物理のエッセンス使ってましたよ。
そう、それも思い出しながら。 あーあれいいなーと思ってたけどそういう意味だったんだっていう。本質。
あれ本質ってことなんですね。物理のエッセンス。 そう、エッセンス。あれもさ、簡単というかなんだろうね、簡単に感じられるような解説の仕方をしてくれるんだけど本質をとらえてるみたいな。
なんかあんまめっちゃ計算とかしないじゃん、物理のエッセンスって大学受験の参考書で。 しないしない、ゴリゴリの計算じゃないって、薄くて結構取り組みやすい。
そうそう、読み物みたいな。はいはいはい。 そう、あれはまあ本だけど、あの漢字は結構近いのかなーと思って。
なるほど、数学のじゃあエッセンスを、はい。 そう、でも緩くね。緩く伝えられるように頑張っていきましょう。
なんかこういう、はい、リニューアルしたからこそなんか今まで言えなかったけどこういうの聞きたかったよとかあれば、ぜひコメント、ツイッター、フォームお待ちしておりますので、よろしくお願いします。
お願いします。じゃあ行きますか。 じゃあ行きましょうか。
リニューアル第1弾、何の話をいくんですか? 今日はですね、3.14159265358979に、そんな覚えてないけど、ついてですね。
円周率。はい、円周率です。 円周率か。でも円周率ってその前のリニューアル前にやった、
あれは、何かあったっけ、関連? 複素数でやったオイラーの公式とかも。 ああ、そこでπとして出てきてるね。
eのiπ乗をイコールみたいな出てきますよね。とか、まあなんかすんごい数学やってるといっぱい出てくるけど円周率って何なんですかねみたいな。
円周率じゃないの? 円周率って、率ってついてるのと円周ってついてるのですが、円周率って何と何の比率のことなんですか?
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あ、そっか、率っていう言葉で言うと、そっか。 これは、いや、わかんないけど、基本で一番最初に出てくるのはさ、円周だよね。
そうそう。 一周の長さとか、なんか円の一周の長さだから、
だから半径とか直径とそれの関係性みたいな。 イメージは持ってるけど、何分の何とかで考えたことないね。割合みたいな。
これは、まあ定義はですね、直径分の円周が円周率なんですよ。
つまり、直径が決まると円周が求まるというか、直径を決めた円の長さが必ず同じ比率になるっていうのかな。伝わるかな。
なんか伝わるようで伝わってないような。 これはですね、円周率っていうのは円周と直径をそれぞれ測って比率を出すと、
必ず3.1415になる、ほにゃららになりますっていうことなんですよ。まず定義として。 そうね。
なので、最初学校とかでやるのは多分直径1の円を描いてみたりとか、直径5の円を描いてみるとか、コンパスとかで。
半径でやる方が描きやすいよね。直径1ってまあ半径0.5にしてコンパスで描いて、いろんな円を描いて、
例えばハサミで切り取らなくてもいいんだけど、その周の長さを何かで測ると、円周を直径で割ると大体3ぐらいになると。
はいはい。だから3.14ぐらいのは直径が1ぐらいの時の分子なんでね。1分の3.14みたいな。
あ、そうそうそうそう。あってるあってる。直径が1の円の円周は3.14ぐらいなんですよ。
そうだね、確かに。 まあこれまずね、言われると確かにって皆さんなるじゃないですか。
でも結構言われないとなんだっけってなるじゃないですか。 そう、名前でね。確かに。
パイのことでしょとか、3.14でしょとか、まあ今は3になろうとならないとしてるのかもしれないですけど、3でしょとか言いますが、
まあじゃあこの円周率って、なんかすごい長い数なんですよね。3.1415何とか何とかって。どうやって計算されてるんですかね。
計算。なるほど。どうやったらすごい長い数なんでしょ。どうやったら求まるんだろうっていうのを1番目ではちょっと考えてみたいなって。
なるほど。測るんじゃないと。いやちょっと測るのちょっと限界あるじゃんっていう。確かに。測るのももうすごい誤差起きそうじゃん。
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3.14ぐらいまでならね、まだしも。 3.14まで綺麗に測るの結構むずいと思うよ。
そうだよね、それ測ったら3ぐらいだね。 測ったら3ぐらいになる。
でですね。 なるほど。待って、求め方。どう測るか。
あ、なんか。感覚が。 要は3ぐらいじゃんっていうのは、多分ここにいる皆さんも今からコンパス持ってきて、半径決めて、円書いて、測ればいいんですよ。
むしろこれなんか筒みたいなやつ持ってきて、筒の直径を何かしらで求めて、筒の長さをこうメジャーで測ればいいんですよ。
そっちの方がやれそうでしょ。 こっちの方が簡単そうでしょ。やってみて割り算してみたら、まぁだいたい3ぐらいやなみたいな。
だいたいわかると。はい。 はい、でもこれをもうちょっと3.14と、せめて3.05よりは大きいとかね。
あーはいはい。なんかこう定めていくというか。 定めていくのってどうやるんだろうとか、今はどうされてるんだろうとか、
はい、なんかそんなことを、なんか謎じゃん?この3.14っていきなり出てきても。
うん、そうね。 で、ちょっと考えていきたいなって、1話目では思ってます。
はい、お願いします。 ちなみに先にキャッチーなこと言っておきますね。
円周率を3.05より大きいことを証明せよ、っていう入試問題がですね、とある大学で出されたことがあるんですけど、知ってます?
いや、めっちゃシンプルだけど知らない。 あれだよね、同性兄弟か東大とか。
あーはい、あの東京大学の入試問題でございまして。 なるほど、シンプルな問題だね。
つまり、実はこれから話すことって結構難しいことなのかもしれない。つまり、なんか考えたことない人は考えないんですけど、でもだからこそエッセンス的に言うと、すげえ実は簡単なことを話すかもしれない。これからっていう話をしていければと思ってます。
いや、いいじゃん。面白そう。 でですね、まず円周率で大事なのは、その円周の長さと直径の比率なので、でも円周の長さって結構なんか計算で出すのはむずいわけですよ。
なんでかっていうと、円周は直径かける円周率って言われるようにですね、直径を出すためには円周率が出てきちゃうんですよ。
だから円周率を使わずに円周の長さを出すのって結構難しいじゃないですか。 なんとなくオッケー。難しいじゃないですか。
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そうね、なんか計算式で出そうとするとよくわからない。 そう、なんか円周率出したいのに円周率を使えないのに円周率がないと出せないのが円周の長さなんですよ。ちゃんと測らない限りは。
なので、違う方法で出す必要が、だいたいこれぐらいだって出す必要があって。
でですね、これ結構紀元前のレベルの時からこういう解き方されてたらしいっていうやつ。
多分ね、ちょっとここファクト、ファクト。 あ、その紀元前の解き方とその東大入試の正しいというか。
そう、紀元前の解き方を今から伝えていくと東大入試が解けます。 あ、へー、そうなんだ。
あの、紀元前250年のアルキメデスっていう、これ物理の方が有名かな。
浮力とか範囲の人ですね。 アルキメデスさんどうやって考えたかっていうとですね、
円をよりも大きな正多角形でこう、上からこう被せますと。
例えば半径1の円の上を被せてみます。 正多角形って言ったけど一番シンプルに言ったらさ、四角形とかだよね。
一番簡単にします。 あ、じゃあ超極論で、はい、四角形でします。一旦してみよう。
四角形にこう、くっついた円みたいな感じ? はい、じゃあ円の中と外でそれぞれ、
あの一番大きくしたというか綺麗に収まる四角形、考えてみてください。 え、つまり多分正方形で収まるんだけど。
円の中に書くの? 中と外に1個ずつ書いてみてください。 あ、なるほどね。それで挟むんだ。 そうすると小っちゃいやつよりは大きくて、
大きいやつよりは小さいって言えますね。 なるほどね。間に円があるから。はい、で、円の半径をもう1としましょう。
わかりやすい。で、そうするとまず、じゃあ外側の大きなやつっていうのは、 あれ、一旦四角形でいいんですか? 四角形、一旦四角形で考えて、一旦四角形。
半径1の円の外側に綺麗に覆いかぶさる正方形を考えて欲しいんですけど、
一辺1なんじゃない? 一辺1ですね。 1センチ? 一旦じゃあセンチにしておこうか。単位は何でもいいんですけど、そうすると、
外の大きな四角形の周の長さは8ですね。 多分いいよね。
半径1か、円って。 半径1、半径1。 じゃあ一辺は2か。 一辺は、ごめん、そう、一辺は2、一辺は2、一辺は2ですね。
だから2×4で8ね。 普通に間違えてた。 なので、8よりは円周が小さい、円周が小さいですね。
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8より円周が小さい。 パイはさ、みんな知ってるからさ、確かに小さいなって思い浮かべちゃっていいか、ちょっと忘れた方がいいか、どっちの方が分かりやすいかなって。
一旦これ分かるように言うと、円周は、なんだっけ、半径が1だと直径かける円周率だから、この場合2パイ、2パイですね。
だいたい6ちょいみたいな感じなんだ。答えを先に先回りすると。 そうそうそう、6ちょいよりも8の方が大きい。
まあまあそれはそうですね。 もう一個、手前の中側に入れた四角形を考えると、これなんか対角線の半分が1になる。
言ってること分かるかな。 対角線が2になる、でもいいのか、そしたら。
対角線が2になるでいいや、でも大丈夫。 だから、なるほど、ちょっと計算しないけど3平方の定理みたいな。
そうそうそう、そうすると一辺の長さが1になる。一体、嘘嘘嘘嘘嘘嘘ついた。
嘘ついた、いくつになるんだ? ルート2?一体一体ルート2で、ルート2なんだ。
そうだね、ルート2だね、ルート2になります。
これ3平方の定理で、その中側の四角形を斜めに半分に切った三角形考えてほしいんですけど、
縦と横の長さがあって、斜めが2ですと。
縦と横は同じ長さだとすると、ルート2とルート2だと、2たす2たす4で。
そこで見るんだ。俺もっとちっちゃい、余談になっちゃうけど、もっとちっちゃい三角形見て。
四角形を対角線で抜点すんじゃん。 そうすると4つ三角形ができて、その1個のやつを見て。
あー、一体一体ルート2じゃん、みたいな。
そうそうそう、辺の方がルート2側になる感じ?
あってる、あってる、あってます。 なるほどね。
だから、ルート2かけ4?
そう、ルート2かけ4になるから、4ルート2で、ルート2ってひとよひとよに、ひとみごろでしょ、たぶん。
1.41何たらみたいなね。
1.4ぐらいだとすると、これが5.6ぐらいになるのかな、4倍するから。
なるほど。
で、2πだから、πにするには半分でそれぞれ割ると、2.8よりも大きくて、4よりもちっちゃい。
もう、四角形で囲むと、もう、まあだから、東大様の言う3.05にはもう全然話になりませんと。
でもなんか、挟んだね。
でも、こうやって考えていきます。
なるほど。
で、じゃあ、今度考えやすそうなのは、正六角形、つまり正三角形が6個こうくっつくと円になるっていう意味で、まあ結構考えやすい図形です、正六角形。
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なるほど。
でもさ、これもしかして、あれなん、結構な頂点やんないとたどり着かないのかな、これ。
直感わかってきた。
いや、そう、四角形でこれで6でどこまでいくかっていうのは、ちょっとやってみないとだけど。
まあ、一旦じゃあ、六角形の。
たどり着かない気がしてきた。
六角形で、はい、考えてみるとですね。
はい。
じゃあ、先にさっきと同じように外側で考えた時に。
うん、円の外側に正六角形。
はい。で、正六角形ってあの、正三角形が6個になるイメージって皆さん。
ピザみたいに切る感じ。
ピザみたいにこう3つ切ると正三角形が6個で。
なるほどね。
その正六角形の辺それぞれが、難しいな。
まあピザみたいに切ればいいってことか。
そうそう、外側にやったのをピザみたいに切ったと思ってください。
6等分ね。
で、それのピザ一切れの高さが1ですね。
外側だからそういうこと。
それぞれ外側にそうなるから高さが1ですと。
うん。
で、そうすると高さが1な時の外側のシューの長さはどれぐらいかというと。
うん。
ここね、計算してきてないんだ。
ここはもうにょろにょろにょろっていう感じ。
ここはね、あ、でもまあローって言ってね。
だから、タンジェント30度の2倍だね。
ああ、そういうことね。
で、コサイン30度が2分の1。
コサイン30度は違う。
コサイン30度は2分の1。
コサイン30度は2分の√3。
2分の、あ、だから逆か。
だから√3分の2か。
あ、タンジェント30度。
1点が、はい。
なるほど。
これが6個、6個、6個あるわけですね。
これが6個。
あ、それが底辺の高さが1の三角形が6個。
6個あるとシュー。
そういうことか。
シューだ。
でも面積考えようとしちゃった。
で、そうすると4√3になるかな。
4√3だとまあ8点ちょいなんじゃない?
2点、富士36のみたいなやつでしょ?√3。
そっか。
さっきとあんま変わってない感じ。
あんまり変わってない感じするね。
っていうのをですね、東大入試で言うとですね、
これ正8角形か12角形とかにすると12角形なんで、
その1個1個の三角形自体は30度の図形になるじゃないですか。
要は360度を12で割ってるので、
30度の図形になるので扱いやすいです。
さっきは60度。
さっきの6角形みたいにあれだよね、ピザみたいに割った時の1個の三角形だよね。
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そうそうそうそう。
そこを30とか45度とかにすると、
そのサインコサインとどこが1っていうのを使うと
周の長さでとにかく挟めるようになります。
大きいのもちっちゃいのも。
で、8角形か12角形ぐらいをすると、
3.05より大きいことは一旦証明できます。
なるほどね。
そしてただに東大入試だと大きいことをだから、
中に入ってるやつ、外側は無視していいんだよね。
なるほど。
中側に正12角形を入れて、
周の長さを出して、
これよりでけえと。
それよりもでけえという話をすると、
大体3.05よりはでけえと。
なるほどね。
こんなことをするんですが、
ゆるゆるがつくので計算は省略しますが、
このエッセンスをですね、
紀元前250年のアルキメデス氏。
忘れてた。
アルキメデス氏はどこまでやったかというとですね。
また暇なんですかねっていうとこまでやってるんですか。
正何角形ぐらいだと思います?
いや、今ので総大なんで12とか8でしょ。
正60角形ぐらいとか。
96角形です。
でもちょっとだけ近かった。
正96角形をその時代に作図して描くわけでしょ。
そうですね。
無理だよというか、俺分かんないわ。
そして正96角形の周の長さをどうやって評価したのかとか、
結構難しいことやってる気がするんですけど。
単純にめちゃめちゃ細かいよね。
1周360度96箇所で分けてるでしょ。
めっちゃ細いピザみたいに。
パソコン使わずに作図でこれやったアルキメデスマジ天才だと思うんですけど。
これするとどうなるかっていうとですね。
3.140845より大きくてですね。
3.142857より小さいと。
つまりここまでやると。
第2位まではほぼ決まる。
3.14までが決まります。
なるほどね。
こうやってですね、昔は図形でやってたんですね。
で、それを大学数学になると急数って習えますね。
急数、なんだっけ?
クローリン展開とかテイラー展開とかあれです。
無限に足し算していった特定の法則で無限個の数字を足すと
何かサインシータになるとかコサインシータになるとか4分のπになるとか。
オイラーの公式ら辺で触れたかな?
オイラーの公式ら辺の出し方で触れるようなやつですね。
急数、何かのこう…
急はあれなんだっけ?普通に一急二急みたいな急なんだっけ?
一急二急の急。
急数で数か。
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ちょっとこの辺は何かやっていくと結構すげえガチなやつになっちゃうんですけど
この急数ってやつを決めていくと無限に足し算していったらπに近づきますみたいな式が出せるんですね。
何かの値をずっと足していくとπに近づくとか2分のπに近づくとか4分のπに近づくみたいな式っていうのは結構近代になって発見されていくんですよ。
なるほど。
されていくんですね。ここはもうもしゆっくりやろうとすると2時間ぐらいかかる気がするんで。
近代っていうのはさっきの人は紀元前だったけど。
もう16世紀とかそういう感じだと思う。
いわゆる微分積文学が発展していくところですね。
これ要は無限回微分していって足していくっていう話だったり微分を定義するときに無限個足すっていうので定義するみたいな話ですね。
今はこの急数ってやつをコンピューターに無限回計算させてもとにかくとにかく計算させていくとより細かく出ていきますっていうのが今はそういう出し方。
昔は図形で出しているっていう歴史があります。
なので今すごい桁数までその正96角形が何かもう9万角形とか9億角形になっているかっていうとそういうことではなくて式で出す方法っていうのも今は見出されたんですが。
そういうことね。昔だからさっきの復習というか繰り返しになるけど昔はこの作図というか図形で考えて96頑張ってた。
そうですそうです。
今はそれを頑張ってるんじゃなくて急数算。
そうですそうです。
急数算っていうのを使って出していくとどんどん精度が上がっていっている。
例えば4分のπイコール1ひく3分の1たす5分の1ひく7分の1たす9分の1ひく11分の1たすひくみたいなみたいな式をですね。
これをずっと足していくと4分のπになるっていう性質が急数でわかってるんですよ。
今みたいに。
なるほど。
分母が135791113みたいに増えていきプラスかマイナスかがプラスマイナスプラスマイナスプラスマイナスになる数をずっと足していくと
例えば第100項まで計算すると3.13159みたいになってきてこれを1000項1万項10万項とかまで計算していくと3.14みたいになっていきますというものがありまして。
1000項とかいうのはあれだよね。1000回足し算引き算していく数だよね。
そうですそうです。1000回足し算引き算するとそれぐらいになると。
コンピューター様にこういうことをやらせると今は62兆8千億桁まで計算されていると言われており。
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なるほどね。62兆なんだ今。
桁数だよね。
62兆桁までされている。
3.147ってやつ?
そうそうそうそう。小数の数が62兆桁。
この辺は結構1949年、戦後はまだ2037桁というところですね。
だからやっぱりコンピューターの進化に伴って。
コンピューターの進化とその球数のセンスの良い球数の出し方も2つできております。
つまり良いスピードで良いところまで行く球数の出し方もあれば結構頑張って計算しても近づかない球数もあります。
だから公式の決め方とコンピューターで発展の2つで決まるんですが、でも1949年は2037桁。
1989年に4億8千万桁。
もうすごいな。
この40年ぐらいすごい進みました。
2002年、この辺日本人ですね。金田さんという方が1兆2411億桁まで出した。
1兆超え。
2011年、近藤さんという方が10兆まで出した。
2021年はスイスの人たちが60兆8千億桁というのを2021年12月。
1年前ぐらいにこの辺まで計算が出されたという。
結構だからこの桁の出し方の議論は日本人も貢献してるんですよ。
球数の決め方、どんな球数を選ぶかみたいな。
めちゃめちゃ雑に言うと、さっきの正八角形でやるか正十二角形でやるかみたいなノリ?
そうそう。それをそういう多角形で囲むっていう出し方もあれば、
何かの現象でパイってめっちゃ出てくるように、
サインをひも解いたらパイが出るみたいな考え方もあり得たら、
指数関数をうまくひも解いていったらパイが出るって考え方もあり得れば。
なるほど。いろんなアプローチがあるんだ。
100次関数みたいな、2次関数3次関数をどんどん増やしていったものを球数展開するとパイが出るみたいな考え方もあるときに、
それは組み合わせでもある。
つまり1個のものをシャンプルにやるんじゃなく、さっきの多数引く多数引くを繰り返すみたいな話で言うと、
例えば、これ合ってるか全然わかんないけど、
xの百乗プラスサインシーターマイナス2分のeのi乗みたいな式を考えますと。
これを球数として処理をしますと。
この3つの足し合わせたものをね。
そうすると、実はすごく猛スピードでパイに近づくみたいな、
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要は調合する感覚。
なるほどね。
調合ね。科学みたいな感覚だ。
だけどその調合の感覚を多分完全な公式はないってことは結構いろんな考え方で、
こっちの方が近いんじゃないかみたいなのを仮説立てて計算させてみて、
ちょっと収束スピード、その3.14に近づいていくスピードが速いだろう遅いだろうで、
よしよしを判断していくのと、同時に数学的に計算して本当にパイになってるかみたいなのを確かめるみたいな。
なるほどね。
結構多分いろんなコンピューターの発展の要因もあれば、アイディアの要因もある。
何をどう調合するかっていうところね。
そうです。
ちなみにもう一個だけ聞いてもいい?
どうぞどうぞ。
3.14っていうのさ、今60兆ぐらい?
はい。
どういうモチベーションでそこをより精度高くしてるの?
時計とかだったらさ、なんたら時計が絶対ずれないとか意味ある気がしてくるんだけど、
桁数増えていくとどういう良さがあったり、研究者さん自体はどんなモチベーションなんだろうって。
これはですね。
あるんですか逆に。興味本位なのかなとかも勝手に思ってたんだけど。
これは、一つは興味本位だと思うんですけど、一つは円周率が無理数、つまり本当に永遠に終わりが来ないことを証明されてないはずなんですね。
どっかの界に近づいてきたな。
なので、それを証明したい気持ちもあるわけですよ。
遥か先でもしかしたら割り切れる可能性はなくはないじゃん。比率なんだもん。
でも今のところ、できないことを証明するまでは結構無限に先まで出したい人も多分いるよねっていう話な気がする。
果てしないな、難しいな。
あとは、このπの出方の数に着目をしたい人とかもいっぱいいますよね。
141592って出てくるこの法則性とかってないんかなみたいな。
でもこれ法則性があると終わりが来ないことを証明できるんですよ。
無限に続くことが言えるじゃん。この並び方が無限回続きますとか言えると。
絶対終わんないじゃんみたいな。
99999って言ってもずっと9なんだって言ったらもうそれは無理数じゃんっていうように。
だから終わりが来る来ないの決着をつけるどっちの法則も今出てないので
それにちょっと近づきたい欲求は出ちゃうよねっていうのと
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結構趣味な人多いでしょ。練習率100桁覚えましたみたいな。
そういうのもいるもんね、確かに。別に研究者じゃなくても。
そんな感じなんじゃないかと思います。
面白かった。
今日は練習率とは何ぞやみたいな話でございました。
ありがとうございます。
次回本命、マジ本命の話します。
次のは独立してる感じ?
続いてる。この演習率。
続きは続きなんだ。
練習率です。
次も練習率の話するんですけど
今回のは入試にもなって話題があったこともあるようなネタとして触れたんですが
次回のやつは考えたことない人ばっかだと。
そうなんだ。気になる。
予告をすると、もしも練習率が○○だったらっていう話をします。
何?何?まあいいや。
お願いします。楽しみにしております。
じゃあ締めましょうか。
ということで、締めますか。
この番組では皆様からの温かいお声をお待ちしております。
ご要望、質問、感想、何でも構いませんので
ツイッターのハッシュタグ、あ、ハッシュタグゆるゆる数学エッセンスでいいか。
ゆるゆるは平仮名、数学は漢字、エッセンスはカタカナでお願いします。
あとはグーグルホームのお便りホームもご用意しておりますので
そちらからもどしどしお願いします。
お願いします。
あとはアップルポッドキャスト、スポティファイのレビューですね。
今日この収録時点でなんと110、アップル111件、スポティファイ大体80件ぐらい。
ありがとうございます。
すごい溜まってきましたが、まだの方はぜひ☆5ポチッとのレビューをよろしくお願いします。
お願いします。
はい、励みになります。
あとはですね、月1でしみさまとゆとにビールやコーヒーを送ってもいいぞっていう方向けに
サポーター制度を始めております。月額500円です。
サポーター特典としては先行配信だったり限定配信、あとはNGシーン、しみさまの説明NGシーンだったりとか
要望があれば公開収録とかも考えております。
ちょっとでも興味がある方は初月無料ですので、ちょっと概要欄を覗いてみてください。
お願いします。
ということで終わりますか。
はい、終わりましょう。
じゃあシーズン2もよろしくお願いしますということで、最後までお聞きいただきありがとうございました。
ありがとうございました。
ではでは、さよなら。
さよなら。
