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数学ナビゲーターしみと、理系出身、文系就職のゆとです。
ゆるゆる数学エッセンス始まりました。
始まりました。よろしくお願いします。
よろしくお願いします。
なんかテレみたいになってるけど、慣れない感じが。
いや、なかなか慣れないですね。見にくいですね。
前回に引き続き、演習率。
今日も割と計算式出てくると思うので、ちょっと分かんねえよっていうところとか、
軽く聞き流してトークを楽しんでもらえるといいかなと思います。
演習率って何と何の比でしたっけ?
直径と演習。
直径と演習の比が3.141592となるんですよね。
直径分の演習か。
はい。でも測ろうとすると、コンパスとかで半径1の円を書いて、半径と演習で測れたほうが良さそうだよね。
え?どういうこと?
つまりですね、何で分母が直径なんだ?
そして、もしも演習率の分母が半径だったら?っていう話を今日したいと思います。
なるほど。
すごい簡単なところからいくと、半径の2倍が直径なので、いいですね。
半径の2倍が直径なので、分母の直径が半径になると、この演習率ってやつは倍になりますね。
分母が半分になるからね。
6.28ぐらいになるわけですね。
演習率が仮の世界の定義だと。
はい。半径バージョンの演習率だと6.28ぐらいになります。
でもただそれだけで、他の計算とかは別に何も変わんなそうですよね。
だからπっていうところが半径分のっていうことを考えながら、その計算を使ってもらえればいいんですけど、
でも6.28っていう数が半径の6.28倍が演習なんですよね。
半径ベースで考えるとね、そうだよね。
半径1の円持ってきたら6.28なのかな、週間。
そんなに長い?
思ったより長いね、みたいな話になるぐらいで。
でも半径でもいいじゃないですか。
ええじゃないかと言いたくてですね。
今のところみんな頭にハテナが浮かんでますね。
じゃあ、
今日のゴール的にスッキリするところが、だから直径なんだなみたいな、そういう話?
言いたいことを言うとですね、これはですね、
誰が決めたかわかんないんですけど、
人類の数学界をたぶん数百年進めなくした、
小学の根源が文法直径としちゃったことなんですよ。
03:02
そうなんだ。
たぶん。
小学の根源、なるほどね、数学の南下的には。
これのせいでいろんなことがわかりにくくなっちゃった。
へー、そうなんだ。
だから数学嫌いな人が増えた原因の一つです。
へー。
じゃあここからちょっと数学的にですね、いくつか式を思い出しながら、
もし直径じゃなくて半径だったらどうやって言い換えられたかっていう話をいくつかしていければと思うんですけど、
ここからまず半径をRとする、
演習率をπとするにしますね、一旦。
いいですね。
で、演習の長さはいくつですか?
半径R、演習率πの演習にします。
ということはいつも通りのやつだよね。
いつも通りのやつです。
2πR。
2πRですね。
はい、2×π×Rです。これが演習ですね。
はい、演習の長さ。
次、じゃあ円の面積はなんですか?
π×R×R、π×半径×半径。
はい、πRの2乗ですね。
2乗。
はい、じゃあちょっとここは後でやるかわかんないですけど、じゃあ表面積は?円の表面積。
ごめん、体積ってだけでいいや。
体積、体積。
円の体積は?
あれ?3分の4πR3乗とかだっけ?
そうですそうです。身の上に3πRさと覚えるやつですね。3分の4πR3乗でございます。
初めて聞いた。
でですね、まあ結構いろんな公式に2Rじゃなくて、Rの変数に当然出てくるんですよ、公式としては。
πは直径で定義されているのに、結構中に出てくるのはRという半径で出てきます。
そういうことね。
そういうことか。
なんとなく違和感一ね、なんとなく。
まあでもそれは当たり前で、円ってある一点からの同一距離にある点を集めた図形のことですね。
中心からね、円の中心から。
はい、つまり円を決めるパラメーターという言い方をしますが、半径がパラメーターなわけです。
半径を決めて、こう書くと円になるわけですよ。
円の定義から考えて、そうだよねってことね。直径はあくまでそれを突っ切った時に出てくるだけ。
そうそう、なんで突っ切らせるのっていう話ですと。
なるほどね。
でもまあ今の辺はまだ変なこと言ってるだけに聞こえると思うんですけど。
じゃあこれはですね、わかりやすい例をここからいくつかいきますね。
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次の例はね、確かにってなると。
とりあえず聞いてもらえれば。
数学2でコド法ってやつやります。
覚えてないけど、あれか、コね。
コに角度のドね。
コを言い換えられないけど。
そうです、コに角度のドの。
これどういう定義だったかっていうと、例えばね、半径1の円があったとしますと。
半径1の円。
半径1の円があります。
半径1の円において円周が1進んだ時。
円周が1、どっかからスタートしてウィーンとこう描いて。
1動いた時の角度ができますが、この角度を1ラジアンと言います。
ラジアンね。
ドじゃなくて。
この定義で言うと、360度1周回ってくると円周分進むので2πラジアンになりますね。
円周分進むので2π。
円周が2πだからか。
円周が2πだからですね。半径が1だから。
半径が1だから直径かけるπだからね。
2πラジアンですね。
で、あります。
でも1周したのに2が出てくるのって何か違和感が出ません?っていうことを言いたいんだけど。
なるほど。1周だっけから1にしたいよね。
1にしたいよね。
何周したかとかね、数えやすそうだね。そっちの方が。
そう。で、もし分母が半径で円周が定義されていたらですよ。
そうすると半径分の円周が円周率、新しい円周率。
名前があるの?
何て言っておこうかな。いや、ない。自分たちでつけていいんですけど。
pとか言っておく?πじゃなくて。
p、じゃあpにする?アルファベットのpってやつにしたとしますね。
ここから先は新しい円周率。
newπね。
newπはpと言いますと。
πのpですね。何でもいいんですけど。
これが半径分の円周をpとするのであれば、半径1の円の円周の長さはpなわけですよ。
はい。きれいになった。
そうすると、このコド法において言うと、1周したときにpって言い訳ですよ。
360度がpってこと?
例えば4等分したときの90度とかっていうのが4分のpになりますね。
09:00
だんだん直感に合ってきた気がしませんか?
4分の1周して4分の1pであり、半周したときに2分の1pであり、1周返ってきてpになるので、
まずコド法的に見たら半径が分母の方がいいんですよ。
扱いやすいんですよ。
確かに。
ここは確かにってなると思います。
ほんとだね。
じゃあ続いて円の面積行きましょう。円の面積。
今は元々のやつはπr2乗ですね。
今回のpを使うと、πとpの関係で言うと、どうなるかって言うと、
πイコール2分のp?
ですね。
πイコール2分の1p。
なので、そうすると円の面積は2分の1pr2乗になりますね。
2分の1かけpr2乗。
なりますね。
2分の1が出てきて扱いにくいじゃないかって思う人ですか?思わない人ですか?
いや思いましたよ。
これ、ゆうとさん思う人ですか?これですね。
思う思う。
これですね。思わないですよ。
何でかって言うと、円の面積ってどうやって求めるかって言うと、
円のシューを玉ねぎみたいに輪切りにしながら、だんだん積み重ねていく方法でしてます。
分かんない。
区分球積法でやるようなやつ。
じゃあまず円を玉ねぎみたいに何層にも、小さい円から大きい円にバーっと輪切りになっていく。
なるほど。バーベキューの玉ねぎみたいな感じ。
そうそうそうそう。あれになってると思ってください。
切った玉ねぎね。ピザじゃなくて玉ねぎにすると。
で、外のやつから順にピローンと伸ばしながら繋げていくと、
だんだん横幅は小さくなっていきますよね。中のやつほど。
うん。ちっちゃい円だ。
だんだんちっちゃい円になっていくから、だんだんそれをピローンと伸ばしたときも短くなっていきます。
これをすごい小さくしていくと綺麗な三角形ができるんです。
一番最後は点になる。一番最初は円周分になる。
で、だんだん違和感のないように並べることができるんですよ。三角形みたいにね。
なるほどね。
なので三角形の面積に近いんですよ。円の面積って。出し方上は。
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で、それを考えたときに底辺は最初の円周の長さなので、πで表すと2πだし、pで表すとpです。
で、高さ。これは層の半径ですね。
半径そのものになるんだ。
半径そのものになりますね。
で、三角形なのでpの方で考えると底面p、高さがrで×1Ⅱ。
三角形の面積の公式。底辺×高さ×1Ⅱだけ。
そうそう。底辺×高さ×1Ⅱになるんですよ。
そして最初の一番下はpじゃなくてprですね。半径がrだとする。
半径とprが底辺になって高さがrになって、これの三角形の面積って1Ⅱpr²だと考えると、もう全然違和感のない三角形の求め方になるんですよ。
確かにそう考えれば。
そう考えるとなりました。
で、円の面積ってrの半径に依存するので、
依存する。
rが増えれば増えるほど大きく、他の要素ってpって率なんであんまり関係ない話ですと考えた時に、
一定の値ね。
一定の値です。
で、そしてこの今の玉ねぎみたいに割るっていう話って円周を積分するっていう考え方とイコールの考え方を使う。
わかんないけど。
これは物理屋さんの方がイメージつきやすい。
とにかくですね、prをrで積分をすると1Ⅱpr²になります。
コーニさんの積分やってる人はそのまま積分してみればそうなるね。
確かに。
で、考えた時に数学を結構触れてる人であればあるほどやっぱり1Ⅱって出てきた方が自然なんですよ。
面積において。
なるほどね。
pr²じゃなくて1Ⅱpr²の方が直感的なんですよ。
なるほど。
だって縦かける横かける1Ⅱで割ってるわけですし、三角形ね。
積分しても一時のものを積分したら1Ⅱが出てくるんですよ。
うん、確かに。
なので、やっぱり半径の方がいいなって感じになります。
なるほど。
じゃあ3つ目いきましょう、3つ目。
体積はちょっと置いときます、一旦。
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さっき体積出してたけどいいやと思って。
なるほど。
置いときます。
ちなみに円周も2πrじゃなくてπ1Ⅱpだからprになるから円周そのものも簡単な話ですよね。
確かに。
簡単な話になります。
なので今円周簡単になりました。
面積もより直感的になりました。
三角関数とつながるコド法っていうやつも多分覚えやすくなりました。
図形の直感と角度のやつもなりました。
じゃあこのπを極めるような話というとオイラーの公式。
eのiθイコールcosθプラスisinθでございます。
θ乗。
あ、そっか、eのiθ乗イコールcosθプラスisinθ。
i×sinθ。
はい、ありますね。
あれπが、あれ?
このθに何を代入するかっていう話なんですけど
一旦πの世界の話でθにπを代入しますね。
そうするとeのiπ乗イコールcosπプラスi×sinπになって
従来πで?
従来π。cosπはマイナス1、sinπは0なので
eのiπ乗イコールマイナス1。
eのiπ乗プラス1イコール0っていう人が多いですかね。
あ、左辺に持ってくんだ。
って覚えてる人の方が多いかもしれないです。
それはね、この間やりましたから。
謎の数e、謎の数i。
iは前触れたやつですね。
で、π今触れてますけど。
この3つを出すとマイナス1になるみたいな。
そっちまだ聞いてない人は是非そっちもリンク入れておきます。
聞いてみてください。
これすごいんですよ。πっていう数が出てきて
不思議な数やなっていうのが小学生で出てきます。
高校生ぐらいになるとeっていう謎の数出てきます。
これもう何なんだろうっていう数が出てきます。
で、もうちょっとやってみて。
iっていう虚数とかいうのが出てきます。
本当に虚数なんだろうかと思いますが出てきます。
この3つを足したらマイナス1。
eのiπ乗マイナス1イコール0。
eのiπ乗プラス1イコール0。
出すか。移行してるから。
もしくはeのiπ乗イコールマイナス1。
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eのiπ乗プラス1イコール0。
移行する前の方で見ようかな。
eのiπ乗イコールマイナス1。
これ気持ちで言うと
eとiとπという数学における革命時的なやつを3つくっつけたらマイナス1なんですよ。
めちゃめちゃスッキリしてますけど。
美しいのにマイナスですよ。
これは1でありたいよ。
1でありたい。
これは1でありたい。数学の世界的に。
だってちょっと虚像な感じしません?
すごい数3つ上手く乗せたのにマイナス1ですよ。
プラスの方がいいに決まっている。
そこまで言うならそうでしょう。
じゃあこれ今からπをpで置き換えることをちょっと考えてみましょうか。
そうするとですね。
つまりpイコール2πになるよね。
なのでそうすると
eのiπ乗イコールコサインのp
これが2πのことですね。
プラスiサインのp
これも2πのことですかね。
とりあえずオイラーの公式に入れ直すと。
とりあえず代入すると。
そうするとですよ。
コサインの2πっていうのは1です。
サインの2πっていうのは0です。
つまりeのiπ乗イコール1になるわけですよ。
半径でπが定義されていたら
きれいになった。
これはなんか美しくないですかっていう。
確かに。
いよいよ本当に美しくないですか。
確かに美しさが増した気がした。
増しているんですよ。
もう圧倒的に美しいんですよ。
eのiπ乗イコール1。
しかももう忘れようがないじゃん。
マイナス1とかっていうと
暗記しようとした時にも
移行した時だっけみたいな。
でもなんかねえみたいな感じで忘れちゃうわけですよ。
プラマイ間違いがちになりそう。
プラマイ間違いがちなんだけど
マイナスとかない。
eのiπ乗イコール1って超分かりやすいです。
しかもpは2π一周することだから
ちょうど図形的な意味も
円を一周してきたら元に戻るよって言ってるんですよ。
iπ乗イコール1って図形的な意味でもね。
もう超美しいわけですよ。
と考えるとですね
21:03
なんで直形にしちゃったのかっていうのはですね
結構数学史上でやばいミスなんじゃないかなって
思うわけですけど
どう思いますかここまで聞いてみて。
ここまでの話の流れだと完全に確かにっていう。
確かになっちゃったんですね。
なるじゃないですか。
なるんですよ。
逆のやつ私実は知らなくて
つまり本当に半径にした方が
多分ありとあらゆる公式の説明が
分かりやすいんですよ本当に。
なるほど。
分かりやすくなるはずなんですよ。
半径にした方がっていうのは今のpの方ね。
2πの方ね。
円周率は2πの6.28の方が
安いんじゃないかなっていうのは
すごく思ってましてですね。
なるほど。
っていう話をしたかったんですけど
これは何を言いたかったかというと
πに関することで今まで
この公式普通のものと違うなみたいな感じを思って
πr2乗とか3分の4πr3乗とか
eのiπ乗イコールマイナス1とか
この方がなぜか一周したら2πなのとか
半周したらπなのとか
なぜか直感的には覚えにくいことが多くて
理由は実はそこにあって
これを擁護できる案も持ってこれるとよかったんですけど
それは今のところわからなくてですね。
なるほど。
こうだったらよかったんじゃねっていうのを
とあるもので見つけて
確かにって思ったのとともに
実はそうだったら数学嫌いな人が
世界で結構減ったかもねっていう話でございます。
なるほどね。
本当にそうなのかなっていうか
本当がわからないからさ
本当にそっちの方がよかったのに間違ってるのか
誰かの観点から言うと
やっぱり今の定義の方がいいっていう
これどうなんだろう
どっちも知らないからね
確かにね。
でも円の面積とかで言うと
例えば運動エネルギーって2分の1mv二乗じゃないですか
24:00
円の面積とかも2分の1pr二乗の方が
わかりやすいと思うんですよねとかね
思うんだけど
これはね多分
今日超数学カットで話しました
だけど世の中的に考えるとですね
実は世の中で考える
数学よりも工学的に考えます
工学的にというのは
実際にこの円とかを使うのって
工場とかでいろんなものを製造したりする時とかに
使われるんですよね
使われるんですよねっていうのは
いろんな部品とかが
ネジとか考えた時に
ネジのぐるぐるするところのあれって円状じゃないですか
形としては
あれを製造する時に
何かこう
節とかを形にして固めるわけじゃないですか
あれが本当にその形に正しくなっているかとか
精密機械とかになると
すごい細かい単位で多分
作らなきゃいけないわけじゃないですか
それを測定する時に
直径で定義されている方が
計算しやすいよね
つまり半径を出すのって
すげー難しいじゃん
工具で測定する時に
確かに現実世界だとよりそうだね
なので実用的な視点でいうと
多分そっちの方が出しやすいんだと
直径を中心に比率で出ていた方が
直径の方が測りやすいから
その半径を測るって結構出しにくいから
使って考えると
数学カットだけだと
2分の1でよかった説だけど
実際に工学的に何かを出したりする時は
実用的には多分直径から出す方が
出しやすいのかもなみたいな
予感はするかもとかですね
物理現象とかで見ていくと
1分の2バージョンの方が使いやすい気がするんで
直感的にはまってる気がする
物理現象の方式
微分析文で使われる時の
係数がきれいに揃うっていう
1とか3分の1とか
分かんないですね
27:03
分かんないんだけど
そういう違和感が
ここが半分だったらとか
ここが倍だったらみたいなやつは
π関係では
きれいに
無駄に出てるなみたいなのはなかったから
逆に意識したことなかったけど
それできれいになるような
仕組みになってるんじゃないかなっていう
受け入れとっただけなのか分かんないけどね
でも結構物理の公式とかでも
その係数がきれいになるように
定義を調整したりするっていうのはあって
言わない中身は触れませんが
hとかそれを
それに似たちょっと係数がずれたやつを
hバーって呼んだりして
計算ではほぼほぼそのhバーを使うみたいな
結構係数のずれって気にしてるんだよね
全体的に
物理面だときっときれいなんじゃないかな
今の定義の方が
ちょっと信じたい気持ち
失敗じゃないと信じたい気持ち
これはね
分かんないんだよね
分かる人いたら
こういう意味でこっちじゃない方がいい
っていうのがあるといいんだけど
もしもほね荒々だったらみたいなシリーズで
結構きれいにはまってるなっていうのは間違いなくて
今でも聞いた限りの範囲だと間違いなく
そっちの方がきれいだから
確かに言ってられる
そうなんです
ちょっと反省を探してみますわ
はい
こういうの面白いというか
演習率っていうのがどういうものか分からず
3とか覚えてると
多分考えることもないんですけど
演習率ってどういうものなのかとかを考えると
こういうこと考えるのが結構
数学が本当に得意な人は考えるのかもなみたいな
いや自分まず考えたことなかった
数学家出身ですが
数学家出身ですがこんなことを考えたことはなく
方向数学の時に違和感あるなと思ったこともあんまりない
そうね俺も全くなく受け入れてしまってた
そうそう
受け入れられるんだけど
演習率の定義ってなんだったっけって
高校の時も大学の時も実はそんなに分かってなかった気がする
ツールとして使ってるものであり
それを使った公式を暗記しちゃうとこから
なんか全部議論が始まってきた
なるほどね
まあでもこれなんか
電流の向きって
30:02
電流?
電流物理の
まあキメの問題のやつね
Eマイナスが動くやつの反対側になるよね
あれも永遠の謎よねきっとみんな多分やった方は
直感と反する
直感というか現実と反するぐらい言っていいぐらいの
あそうそうそうそう
電子の流れの反対の向きを電流の向きとするってやつだからね
そうそうそうそう
なんかあれと一緒な気もしているつまり
ああいうものと
半径にしてたらよかったんだけど
当時定義した人はその時直径との
Sが3.14マジこれすごくねって言って
これにしようって言ってたのかもねっていう
なるほどね
つまり実は本当の最適じゃないものが最適と
そうだとしたら結構数学ってなんか
無駄のない学問
最適を貫く学問なの
割に実はそういう人間出したかったら面白いなって思う感じ
でも確かにそう考えるとそうかもね
でなんか最初に言ってたさ
これによってなんかめっちゃ止まっちゃったとか厄介だった
みたいなのはどういうこと
これがPじゃなくてπだからこそいろいろ止まったというか
止まっちゃったというか
なんか要は分かりに分かりやすい直感になってた方が
つまづく人も減るじゃんっていう
だからなんかこの辺って多分もうつまづいちゃう人めっちゃ多いと思うんですよ
これはもう昔の時代も今もずっとそうなんですけど
研究レベルの何かが止まってるとかじゃなくて
じゃないじゃない
研究者になる人からしたらまあもちろんね
でもそこの理解に時間を使うこともなく
効率的にできてたらもうちょっといろんなものが溶けてたかもしれないし
っていうぐらいのレベル感
なるほどなるほどそういうことか
そんな超やばい話ではない
だってかって倍だろうと半分だろうと
定義から理解してる人からしたらもう全然いいんですけど
これがボトルネックで何かがストップしちゃった
そんなことはない
なるほど
不思議だなっていう話でございます
確かにね
電流の話もちょっと出たけど
そういうの意外とあるのかもね
今改めて定義し直すととか言うと
実は違う方がいいとか
ね
時間の単位とか温度の単位とか
なんかいろんなありとあらゆる
範囲とか定義とかは
実はもっと最適なのがあったのかもね
33:03
距離とかもねほんといろんな国で
特にいろんなフィートとかメートルとか
確かに確かに
マイルとかなんかいろいろあるもんね
こういう視点だとこれがいいけどとか
なるほどね
確かにそれもありますね
いろいろありそうだね
その観点
もしこうだったらとか
でも面白かった
はい
パイのすごさとかじゃないことを
なんか話しちゃったような気もするのと
ところどころで結構
高校でやるぐらいのことを普通に使ってるんで
ちょっと難しめに感じた人もいるかもしれないんですが
こういうなんかもしそうだったら
実はいろんなことが簡単だったのかもしれないな
みたいなことだけ
はい
知ってくれれば
聞き話としてはいいのかなと
そうね
です
そんな感じで
そんな感じです
じゃあ締めますか
締めましょう
言い残したことはないですか
ないないないない
じゃあこの番組では皆様からのご意見ご感想ご要望などお待ちしております
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お願いします
あとはですね月1でしみさまとゆとにビールやコーヒーを奢ってもいいぞっていう方向けに
サポーター制度を始めております月額500円です
サポーター特典としては先行配信だったり限定配信
あとはNGシーンしみさまの説明NGシーンだったりとか
要望があれば公開収録とかも考えております
ちょっとでも興味がある方は初月無料ですのでちょっと概要欄覗いてみてください
はいということで終わりますか
終わりましょう
最後までお聞きくださりありがとうございました
ありがとうございました
ではではさよなら
さよなら
