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数学ナビゲーターしみと、数学ナビサレーターのゆとです。
ゆる数学ラジオ始まりました。
始まりました。よろしくお願いします。
さてさて、前回まで複素数、虚数、楽しく楽しく虚数のお話をしてきましたが、
4回話しましたね。
楽しかった。
今回でも前回の最後にチラッと言ったかもしれないんですけど、
図形の話です。
1点変わって、図形の話は変わりますね。
計算で疲れちゃったと思うので、今回はですね、数式を使わない柔らかい数学というものをやっていきたいと思います。
柔らかい数学。
柔らかい数学です。
よろしくお願いします。
柔らかい数学の前に、固い数学について少し触れていこうと思うんですけれども、
固い数学です。
中学校の時に同じ形で、
固い数学?
そう、これ固い数学。
同じ形。
中学校の時に同じ形みたいな図形で何か覚えてます?
同じ形。
合同か相似のことどっち言ってるのか分かんなくなりましたけど、それ系?
小学校の時とかで言うと、線が3つあるものを三角形と言って、
同じ形。三角形とか四角形とか。
三角形とか四角形とか言いますよね。台形とか円とか言いますね。
中学校になると三角形は三角形でも同じ三角形のことを合同で、
ぴったり重なるやつね。
ぴったり重なる。
ぴったり重なるってどういうことかっていうと、
角度が一緒とか、辺の長さが一緒だから重なるんだよね。
合同条件ってやつね。全然覚えてないけど。
三組の辺が等しいとか、二組の辺とその間の角が等しいとか、
一組の辺とその両端の角が等しいと合同と言います。
スラスラ出るね。
テストに出ますね。
合同ってやつやります。
もうちょっと広いやつで言うと相似っていうのも、
これ拡大コピーの関係って分かるかな?
拡大縮小コピーね。
そうですそうです。
これはなので辺の比が等しいっていうのかな?
縦の長さが2倍になってたら横の長さも同じく2倍になっていて、
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角度は一緒だから拡大コピーで200%にしたやつが出てきますよねみたいな。
でもこれも辺の比と角度みたいな世界で一緒なんですよ。
相似条件的なね。
相似条件的なやつ。
3組の辺の比が等しいとか、
2組の辺の比とその間の角が等しいとか、
1組の辺の比とその両端の角が等しいと、
全部言うね。
相似でございます。
覚えてません。
よく覚えてます。
これがですね、固いんですよ。
固いとは思ったことありませんけどね。
なんで長さとか角度とか変えちゃいけないんですかね?
変えちゃいけない。
ルールが固いよね。
カチッとしてる的な意味の固い。
カッチリしてるんですよ。
なるほどね。
厳しいみたいな。
厳しいからこそいろんな性質が見えるんですけど、
大事なことはもしかしたらそういうことじゃないんじゃないの?
みたいな数学があるんですよね。
大事なこと。
例えばね、
ちょっとその間の話をすると、
前回の
間っていうのは?
固いと柔らかいの間。
そんなものもあるの?
この話固くねっていう主張をちょっとすると、
例えば直角二等辺三角形を1個思い浮かべてください。
直角がある二等辺三角形だっけ?
なんて言うんだろうね。
正方形をパチッて半分に切ったような形って言うとわかる?
正方形を半分に切ったやつ。
三角定規の1個のやつだよね?
そうそう、三角定規の1個のやつとか思い浮かべてほしいんですけど、
あれをですね、いろんな角度に立てながら、
光を当ててどっかに影を作ってほしいんですね。
そうすると、こういろんなことやっていくと、
基本的に三角形になりそうだなと思いきや、
すんげー倒してやると直線みたいに多分なるし、
ほぼ直線だけ。
変な角度から光を当てると、
直角でもなくなるし、二等辺でもなくなるんですよね。
なんとなく実験するとわかる。
なるほど。
全然直角二等辺三角形と同じ形なはずというか、
同じ仲間なはずじゃん。
それを影で投影しているのに、
全然違うものだっていうのもおかしな話なわけですよ。
なるほど。
少なくとも二等辺三角形の影ではあるんだもんね。
でも二等辺でもなくなるからね、影。
それの影だから別物じゃないというか。
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直角二等辺三角形の影なのに直角じゃなくなるし、
直角二等辺三角形の影なのに二等辺じゃなくなるし、
そもそも三角形でもなくなるっていうことが影だと起こるんですよね。
なるほど。
そこでですよ、長さとか角度にとらわれない、
柔らかい数学を考えようじゃないかっていう人たちがいるんですよ。
聞いたことない。
トポロジーっていうんですよね。
これがトポロジーなんだ。
はい。
名前だけなんとなく聞いたことあるっていうレベルですね。
ちょっと難しく言うと位相空間ってやつですね。
難しく言ったね。
難しく言ってみた。
位相空間。
はい。
で、長さや角度にとらわれない数学、
今のところそんな厳しいこと言わずに緩く考えようよって言ってるだけなんですけど、
じゃあ例えばね、ドーナツ。
はい、ドーナツね。
真ん中に穴が開いてるやつですか?
イエス、イエス。
と、マグカップ、取っ手がついてるタイプ。
取っ手がついてるタイプのマグカップ。
コップになってるけれども絵があるやつ。
絵がこう手が入れられるようになって持てるやつね。
指を引っ掛けるやつね。
指引っ掛けるやつ。
あれって同じ形なのかな?違う形なのかな?
同じ形の定義による。
でも直感的には別物として捉えてますよね、日常生活では。
マグカップでコーヒー飲んでドーナツがあったら、
同じ形2つだとは思わないね。
思わないね。
これですね、実は一緒な形だと言われるんですよ。
トポロシの世界だとね。
で、絵の部分?マグカップ全体とドーナツ?
全体。
絵の付いたマグカップ全体とドーナツ。
同じに扱うというか、同じグルーピングというか、同じ形。
これ、全てのものが粘土でできてると思ってるんですよ。
粘土でできてるとしますね。
急にエンジンに戻って粘土で作って。
はい。なんだけど、変形させていいのは連続な設計。
ちょっとここ、柱出してほしいんだけど、
粘土で本当に自由だったら、穴なんて作れるし塞げるんだけど、
穴を塞ぐ作るっていうのは非連続的なことなんですよ。
どんだけ大きさをグニャグニャグニャってやっても、
穴がすんごい小さくなるか、すんごい大きくなるかだけで、
ゼロにしちゃうことはダメなんですね。
なるほど。それは、なるほど。
大きさも角度も変えていいけど、
穴を消すことはできない。
なるほど。穴の数でもめっちゃ規制があるというか。
そうそうそうそう。穴の数で別の形とみなすというか。
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分けていくっていう層学問というのがあるんですけど、
なるほど。
そうすると、マグカップって穴2個空いてね、みたいなこと。
その立体、なるほどね。
穴はでも、絵の部分と飲む部分で2個ありますけど。
飲む部分にも穴空いてそうじゃないですか。
穴の定義か。
今度は穴の定義なんですけど、
マグカップが粘土でできてるのをイメージしたときに、
縦の深さっていうのかな、どんぐらい入れられるかをめっちゃ縮めていきます。
めっちゃ浅くしてね。
浅くしていきます。
平べったくなっちゃうよ。
平べったくなっちゃいますよね。
取っ手のところはぐるっと輪っかみたいになって残る輪っかですよね。
輪っかは輪っかだ。
なので今、ぐにゃーって縦にプレスというか縮めると、
輪っかに1個ピザみたいなというか、
なるほど。
ピザに輪っかついたみたいになるよね、たぶん。
なるほど、確かに。
イメージはつくね。
今度そのピザを小さくしていきます。
めっちゃ小さくしていくと、
もう何もなくなってくるよ。
だから綺麗な輪っかになるんですよ。
輪っかと点だから輪っかだけっていう感じだね。
輪っかになる。
それがドーナッツも輪っかなわけですよ。
そうね。
なので同じ形って考えようぜっていうのが、
それがトポロジー。
この同じ形なのを大学生は同層って言います。
同層。
じゃあさっきの位相空間も漢字。
そうそうそうそう。
位相空間ってどういう意味ですか?
位相はですね、位置の意味、相手の。
はいはい。
で、今のは?
同じ同層。層は一緒、相手。
同じ相手。
相次の層も一緒ですね。
はいはい。
これ同じ形。
これちなみに数学科でやるときも同じ形っていうの?
それとも優しく言い換えてる?
同層だと言います。
あ、そっかそっかそっか。
同層ってのを優しく言って同じ形って言ってるのか。
はい。トポロジーと…。
なるほどね。
で、もう一個だけじゃあとりあえず例を言っておくと、
直方体と円錐。
錐っていうのはとんがってるやつだっけ?
とんがってるやつ、そうそうそう。
とんがりコーンだ。
そう、とんがりコーンと…。
ハットみたいなね。
ペットボトルとか何でもいいんですけど立ってるやつ。
立ってるやつ。
そう、2種類あったときこれって同じ形なのかなっていう話。
え、とんがりコーンは?
つまり下は円になってて一番上はとんがってる点になっててこうなってるやつと
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下が四角形でそのままこう四角形で上に上がって…。
あれ、でもさっきの柄のついたマグカップのさ、
ドリンク入れる部分は穴と見なさないから、
そうそうそうそう。
とんがりコーンも同じだよね、きっと。
あ、そうです。とんがりコーンも同じです。
だからどっちも穴ゼロで同層みたいな?
あ、イエスイエスイエス。
全然違う形だけどね。
つまりですね、あの…。
なるほど。
長さや角度にとらわれない世界でいうとその局面みたいなのも無視できます。
あ、なるほど。まっすぐか曲がってるかってことですね。
これがまあ位相空間っていう世界なんですけれども。
なるほど。
もうここまで聞いてなんでこんなこと考え始める人いるのって。
ほんとそう、それをもうどのタイミングでそれを質問しようかってずっと思ってた。
突っ込みたくなるじゃないですか。
なりますよね。
うん。
じゃあちょっと身近なトポロジー。超身近なトポロジー。
身近なトポロジーあるんですか?
ありますあります。
路線図です。
路線図?
路線図に山手線を思い浮かべてください。
丸いね。
丸いよね。
円だね。ぐるっと一周。
ぐるっと一周の円で、なんか均等な角度で液が流れる図ですよね。
そんな感じ。
でもリアル山手線って液と液の距離って等しくないよね。
そうね。
私まんまるじゃないよね。
はい。
だけどその形に整えたことで人々は分かりやすく液の順番が分かるよね。
なるほどね。ざっくりの形もね。
はい。
分かると。
で、これ何が言いたいかというとですね。
トポロジーって何でこんな考え方をし始めたかっていうと。
これがきっかけかどうかは分からないけれども最終的にこの話するっていうのを先に言っちゃおうと思うんですけど。
宇宙の形ってどうなってるのっていうのを考えたい人たちとかが。
この人たちがやったかごめん本当に分かんないんだけど。
でも私の理解で言うと宇宙の形とかを証明しようとするときに。
このトポロジーっていう長さとか角度にとらわれずに図形の本質を考えるみたいな学問が、数学がどうしても必要なんですよ。
なるほど。
で、要は本質的なことを考える。
図形の本質的な特徴をとらえるための分野としてですね。
なるほど。
同じ形っていうのは位相空間っていう考え方がありますと。
なるほど。
ちょっと分かるようで分かんないような気もまだしてるんじゃないかと思うので。
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いやもう全然はてなはてなはてなだよ。
1個次の回で問題というか1個例として問題っぽいやつを考えていこうと思うんですけど。
まず1回目の今回15分も過ぎたので伝えたいことで言うと。
同じ形って何だろうっていう数学があったときに小学生の時は三角形四角形みたいな変の数とかで見ていたものとか。
あと二等辺三角形とかもやるのかな。曲角三角形とかもやるので変とか角度の特徴でやる。
中学校になると同じ形っていうのを全く同じ形である重なる合同とコピーの関係の相似ってやつをやります。
で高校とかになるとこういう性質を使いながらいろんな問題を解いていったり。
そのさらなる特徴というか図形の項を使って長さをいろいろ計算したりとか。
こういう図形の時にはどんな特徴があるのかとかも多分いろいろやっていきますと。
大学生になるともうちょっと何か概念チェックになってですね。
同層っていう世界が出てくるという感じでございます。
なるほどね。でも全然まだ俺は理解できてないけどさっきねポロッと言ってる本当図形の本質。
本当にだからそれを突き詰めていくとトポロジーに行くんだろうなっていうふわっとふわっとだけなんとなく入ってきましたけど今日のところは。
山手線の例で言ったようになんか世の中のものをモデル化するっていうとビジネスっぽくなるのかな。
シンプルに捉えていくときに山手線の捉え方ってトポロジー的捉え方なんですけど。
なんか世の中がいろいろ複雑だなって思うものをシンプル化して考えることができるようになるときになる。
でもそういうことかシンプルに考えた時に残る特徴っていうのが本質的というか。
そんなにシンプル化しても出てくる特徴が超真理というかってことはこういう世の中なんだなって掴めるようになるというか。
今日こんな緩やかに話してますが一応大学生の数学でこれを習うとですね。
ここむちゃくちゃ、計算しない、前回の予告で言ったから計算しない数学の最後にハテナってつけてって言っているのは本当に習うとそのハテナは。
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取れちゃう。
嘘です。
嘘です。
計算します。
だけどすごい難しい思考得というよりか概念チックな計算が出てくる。
概念チックの計算。
集合として捉えるみたいな。
計算になっている。
なるほどね。
ロジック的には結構難しいこともやるんですけど雰囲気としては結構そういう複雑なものを長さとか角度とか堅く言わずに柔らかく無能的に考える数学あってもよくないみたいな。
なるほどね。
だって山手線もそうじゃんみたいな。
でもそれ分かると結構宇宙の形こうなんじゃねってちょっと分かるっぽいよみたいな。
まだ全然みたいながね分かってないけど。
宇宙、特に宇宙。
特に宇宙はね今のとこ全く分かんない。
大丈夫です。
次回ちょっと具体で2つぐらいやっていきたいと。
具体でいいですね。
今のところ概念導入というかこういう世界あるんだなっていうのが大事でございます。
ありがとうございました。
ありがとうございます。
じゃあ締めますかってところ。
締めでいいですか。
なんか江戸さんありますかこの初めてトポロジーという謎の考え方を聞いて感じたこととかあれば。
感じたところ。
でも序盤でね何にもなんでそんなことするのなんでそんなことするのって思いながら多分10分ぐらい聞いてたんだけど。
ちょっとだけね。
宇宙もどうやって使われるか分かんないけど宇宙の形かとかもそうだし。
図形を突き詰めた先にあるんだなってとこまで分かったから今めっちゃ興味は持ってるっていう感じでございます。
じゃあ締めますと。
この番組では皆様からのお声をお待ちしております。
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あとはアップルポッドキャストスポティファイの星5ポチッとのレビューいただけるとめちゃめちゃ励みになります。
とっても嬉しいです。
めちゃめちゃ溜まってきてね結構嬉しいよね。
結構嬉しいですよあれ増えていくと。
アップルスポティファイ共に100件以上ぐらい早くいきたいのでちょっとまだだよって方いらっしゃいましたらあとアップルで聞いてる人もちょっとボランティア的にスポティファイのポチッととかね逆もしっかりしていただけるとめっちゃ喜びます。
喜びます。
お願いします。
お願いします。
ということで今回も最後までお聞きくださりありがとうございました。
21:03
ありがとうございます。
ではではまた会いましょう。
さよなら。
さよなら。
