1. ゆるゆる数学エッセンス
  2. #08-恐怖の指数関数!?ドラえ..

今回は、10の何乗とかで表現される「指数関数」が思ったよりも圧倒的なスピードででっかい数になるよーというお話をしてみました(◍ ´꒳` ◍) 

指数関数的に増える栗まんじゅう、おそろしや・・・ 1回の配信で対数にまで触れると情報量が多すぎるので割愛してますが、別の機会に対数(log)についてもお話する予定です٩( ᐛ )و ★ひよこさん、お便りをお送りいただきありがとうございます!早速、指数関数をネタに話させていただきました(◍•ᴗ•◍)  

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00:04
数学ナビゲーターしみと、数学ナビサレーターのゆとです。
ゆる数学ラジオ始まりました。
よろしくお願いします。
今日はですね、嬉しいお便りが来ているということで、
初お便りですか。
いやー、これめっちゃ嬉しいよね。
これは嬉しいですね。
感動なんですけど。
ありがとうございます。
それを読み上げて、それに回答というか、答えるような回にできたらなというところですね。
頑張ります。頑張れるかな。ゆるく頑張ります。
はい。ということで、読み上げます。
神奈川県お住まいのラジオネームひよこさんからのお便りです。
しみさん、ゆとさん、こんばんは。
ポッドキャストに上がっている4回分すべて聞かせていただきました。
今回の偏差値の話の最後にあった基準を覚えておくと良いということを聞いて、
私、教育学部数学専修の者なので、すごい数学に詳しいわけではないのですが、
2の10乗を覚えておくことをお勧めしたいです。
少し話が逸れてしまいますが…。
びっくり。
2の10乗まですぐ言えると確率とかで強いのですが、
小さい方から覚えるのは私は無理だったので、
2の6乗までは言えるから、2の7乗からは覚えずに、
6乗と10乗の値から暗算で求めています。
今回の話を聞いて2の10乗のことを思い出し、
とても共感してしまったため、お便りを送らせてもらいました。
さらに指数を思い出したことにより、指数対数のお話も聞けたらなーって思いました。
世の中で使われていてとっつきやすい例はあげられなくて申し訳ありません。
もし話すネタに困った時があれば、ぜひ取り上げてもらいたいです。
長々と失礼しました。
私は数学が大好きなので、これからも楽しみにしています。
びっくりびっくり。
ということで、
ありがとうございますひよこさん。
ひよこさん、お便りありがとうございます。
しかも神奈川県にお住まいですね。
僕と一緒ということで。
僕たちと一緒ですね。ありがとうございます。
ご近所さんということで。
とっても嬉しいですね。
ありがたいですね。
ありがとうございます。
ちなみに、この覚えておくといいかもねシリーズ。
2の10乗。
この方結構面白いよね。
2の7乗、8乗、9乗らへんは覚えてないから、
そこの手前部分と後ろから足したり引いたりしてるんだ。
あー、なるほど。
でもこれも、私も2はたぶん1乗、2乗、3乗と10乗しか覚えてないかもしれない。
10乗って1024?
10乗は1024。
あんまり意識してなかったけど覚えてた。
3乗が8ぐらいまでは、
2を10回かけるといくつになりますかっていうのを、
1、1、こう、2、4、8、16、32、64、-28、200、16、500、256とかってやっていくと大変なので、
03:10
1024って覚えるとやりやすいですよっていうのが書いていただいてたメッセージかなと思います。
俺そういえば円周率みたいな感じでこれめっちゃ覚えてた俺。
繰り返しになっちゃうけど。
2、4、8、16、32、64みたいな話をちびっこの時にめっちゃ唱えてたわ。
すごい。
1024、2048、4096、8192みたいな。
すごい。
懐かしいな。たぶん小5とかなのかな、いつなのか覚えてないけどすごい懐かしく感じた。
そんな小学生の時から指数に関わってたっていうことだと思うのですが、
でも今日はせっかくなのでこの指数とそれの仲間である対数について触れていきたいと思います。
それをテーマにやっていければと思います。
ネタがあるっていうことでよろしいですか?
ネタがあるのかなと思います。
素晴らしい。しみさまは準備してくださったってことで。
指数がまず分かりやすいかなと思うんですけど、
同じ数字がどんどんかけていくみたいな話なんですけれども、
私社会人なんでお金の話を最初にしようかなって思っていて、
始まった。
利子の話です、利子。
あ、利子?
借金とかをしたりとか、逆に資産運用というか投資をしていて、
年利10%で増えるとかってよく言ったり聞いたりすると思うんですけど、
それですね。
そのネタでお話を。
そのネタでまずちょっと簡単に、これは前半簡単な話を一つした後に、
後半でもうちょい長めの話をと思っているんですが、
はい、お願いします。
まずは利子の話で、単利と副利っていうのが世の中にはあります。
単利って例えば1万円借りて、
単利っていう字は?
単純の単に利子の利ですね。
副利が複数の国利子の利ですね。
複数の利益っていうか定義ね。
です。
ありがとうございます。
単利は例えば1万円借りました。
1年後に500円利子がつくとします。
これ、利子でいくの?利息でいくの?
同じ話なんだけど。
お金が増える。
いい話でいこう。増える話でいきましょう。
1万円を株でも何でもいいんですけどに投資をしました。
そうすると500円増えますと。
06:03
これが毎年最初に預けた金額に合わせて5%だとしたら500円増えるっていう。
1万円×0.05が500円ってことね。
そうです。
これが1年後に1万円×0.05で1万500円になって、
2年後にまた最初の増える金額が500円なのに2年後は1万1000円になる。
3年後は1万1500円になりますっていうのが単利。
一番最初に増える分量が決まっちゃうんだ。
そうです。
最初に1万円だったら500円でそれが毎回増えていく。
これが単利。
福利が同じように1万円投資しました。
5%増えますってすると1年後は単利でも福利でも1万500円になります。
2年後にこの1万500円の5%増えますっていうのが福利です。
ちょっと計算もできないけどね。
これ1万1025円。
1万1025円。
つまり2年後で言うと単利が1万1000円、福利が1万1025円。
25円。
全然変わんないですね。
増えた。
25円得だ。やったー。
若干ね。
やったーって話がしたいんですけれども、
今25円なんで大したことないって思った人もいると思うんですが、
1年後ね。
1年後で言うと。
もうちょっと金額を分かりやすくですね。
分かりやすくというか実際に投資っぽくすると、
100万円投資します。
金ありますね。
金がありますね。
年利5%を単利の場合と福利の場合で30年間運用します。
30歳でこの投資をしたら、60歳になったら還暦の時にこのお金がどれだけ増えてるかっていうところ。
先に単利の方は毎年5万円、100万円預けて5%増えるので、
毎年5万円が30年間増えるので、
5×30。
そう。150万円がもともと100万預けてたので250万円になります。
30年後250万円になると。
はい。結構増えた。倍以上ですよ。
2.5倍。
2.5倍です。
なので、30年間資産運用するっていう、
つまりですね、これ全然関係ないこと言うんですけど、
投資とか保険とかって若いうちに始めた方がいいとかって多分いろんなところで言われると思うんですけど、
09:01
これは時間が経つと単純に増えるっていう図の中、
時間って結構すごいよっていう話なんだと思います。
今たった5%しか増えないじゃんって思ったものが、
30年寝かせると2.5倍まで増えました。
すごいですね。
っていうので今日終わりたいんですが、これじゃあ、
福利になるといくらぐらいになると思います?
さっき1万円の時は2年後で25円しか変わらなかったんですけど、
250万が単利だよね。
そうです。
最初は25円の差しか出なくて、まあまあって言ったけど、
そうです。
でも100万が250万、50万差だと?
300万。
もうちょい増えます。
もうちょいか。
これ432万円まで増えると言われています。
なのでその差が182万円とかになるので、
それだけ、つまり福利指数関数っていうのはめっちゃ増えるっていう話をしたかったんですよ。
かつお金の話で言いたいのは、時間を寝かせるとすごい増えるっていうことが、
おそらく投資とかをするときにポイントだって言われたりとかってよくすると思うので、
1年後に増えるかな減るかなってあると思うんですけど、
長い目で見るっていうのが、パフェットさんとかが投資をするときには長く株を持つのがポイントだって言ってるのは、
長い目で見ると伸びる会社が伸びていったときにはすごい増えるよっていうことなのかなというのが、
サラリー番ワンポイントなんですけど、
指数関数っていうのがとにかく思ったよりも増えていくものなんだっていうことをまずここではお伝えしたかった。
感覚的にね。
感覚的に。
じゃあもう1個の話に行ってもいいですか?
もう1個。
もう1個の別の指数を考えてですね、
ドラえもん。
ドラえもん?
ドラえもんで、バイバインっていう秘密道具があるんですよ。
僕の一番好きなドラえもんの番組っていうかそのネタと言っても過言ではないですね。
ドラ焼きだか栗まんじゅうだかののび太くんがすごい好きで、
食べるとなくなっちゃうじゃんと、
ドラえもんなくなっちゃうのやだよって言ったらバイバインっていうのを渡してくれて、
それをかけると5分ごとに2倍になる。
で、全部食べきるまで永遠に増え続けるっていう秘密道具ですと。
しかもなんか小ネタというかただのドラえもんの話だけだな。
12:03
食べ物がさ、食べかけても1個とみなすんだよね。
かけてても。
それはだいぶ小ネタだけどそうなんだね。
だから食べてても、食べ終わんなかったらだから、
それが話のキーではあるんだけど、
食べ終わんないと1個だから増えちゃうんだよね。
っていうのが結構ポイントだったりする。
5分以内に少なくとも1個単位で減らさなきゃいけないという小ネタですね。
そうそうそうそう。
ドラえもんは確かこれもう収集つかなくなって、
のび太くん諦めてゴミ箱かなんかに捨てようとしたら、
全然もうそういうことじゃダメで、
風呂敷かなんかに包んで宇宙に発射して終わらせるみたいな感じだったと思うんですけど、
これどれぐらい増えるのかっていうのを、
実際にまず考えていけるといいかなって思っていて、
もう食べなかったとしますね。
食べていくペースとか、
鷹が知れてるじゃないですか、
そんな1時間に1000個とか食べらんないので。
とすると、1時間経つとですね、
何個まで増えるかをまず考える。
待って、5分で増えるんだよね。
5分で増える。
だから増える回数としては、
1時間でめっちゃめっちゃって言ったら雑だな。
10分で2回だから、
10回ちょいか、12回。
そう、60分なので12回増える。
それぞれ倍になるので、
これは2の12乗個なので、
最初の話に戻ると、
2の10乗がいくつって覚えてる人いますか?
1024なんですね。
1024×2×2ですね。
あと2個2が残ってるので、
そうするとこれが、
4096。
なので、1時間経つと、
1個だったとら焼きが4096個まで増えちゃうんですね。
1時間で。
もうちょい考えてみる?
じゃあ2時間、2時間経つとどうなるか。
いやーもうわかんないよね。
今度は2の12乗の、
2回分ってことだもんね。
2乗なので、2の24乗。
もうわかりません。
これはもう諦めて、
手元を読み上げると、
どのくらいの桁なんだ?
1677万。
1677万。
7216ですね。
一応まだ数えられる数字ではあるけど、
意味わかんないね。
このあと15分くらい経つと、
2時間15分後に1億個を突破するということですね。
15:04
めっちゃ増えるじゃないかと。
この辺からちょっと、
ゆるく、数学だけどドラえもんで言ってることが本当なのか、
っていうのをちょっと検証したくて、
1日で地球が埋もれちゃうよみたいなのを、
ドラえもんが言うっていうね。
そうそう。
終わりのセリフっていうか、
宇宙の彼方へっていう手前ら辺のセリフでそれを言ってるね。
その数字もね。
セリフ覚えてないけど言ってますね。
これ、地球が埋もれるまで、
地球の面積。
地球の面積で考えたときに、
何時間かかると思いますかっていう話を、
一緒に考えていきましょうと。
地球の表面積は、
分かりませんね。
どうやらですね、
510兆平方メートルだそうです。
メートルね。
はい、表面積です。
510兆?
そうです。
510兆平方メートルです。
めっちゃ広いと。
ドラ焼きとか栗まんじゅうでも何でもいいんですけど、
だいたい栗まんじゅうな気がしてきた。
だいたい20センチぐらいの面積だとします。
サイズ感ね。
サイズ感。
ドラ焼きとかもそんなもんでしょう、きっと。
そんなもんでしょう。10とか20とかね。
じゃあこの20センチなものをメートルにしたいので、
0.2×0.2?
正方形にしちゃったけど。
0.2×0.2に数をかけるのが、
1時間で2の12乗になるので、
最初の話ね。
2時間だと24、3時間だと36なので、
2の12n乗こ。
2の12×n乗だよね。
指数のところに。
そうです。指数のところに12nがかかった状態に増えるのが510兆になる。
なるほど。だから方程式みたいになってるんだ、今。
方程式みたいになってると。
510兆イコール?イコールというかダイナリーとかにするのか。
一旦わかりやすく同じになるときのnがいくつなのかってすると、
あれちょっと待って。だからnが時間、何時間の答えだよね。
そうです。
このnイコールみたいなのを求めれば、何時間後に大体地球の面積と同じぐらいになるっていう話だよね。
18:04
そうです。
OK、そいつきました。
これが0.2×0.2×2の12n乗イコール510兆なんですけど、
510兆。
これ解くのも、めっちゃ510兆ってデカすぎて結構つらいじゃないですか。
こういうときに対数っていうのを使います。
ここで出てきました。
対数が何かは今日は一旦省略をしつつ話すんですけど、
対数っていうのを両辺にログの10、乗用対数ってやつを加えると、
一旦流し引きでOKですか、ここは。
流し引きでOKだと思います。
を加えたりすると、この計算が進むんですよ。進むんですよというか。
解けるようになりますと。
解けるようになりますと。
今日は細かいところは抜いちゃいますが、
途中式は置いておいて、魔法を使うと。
この魔法乗用対数っていうのは、
例えばログ10の2っていうのが0.3010のようにですね。
乗用対数を取ると結構大きな数を小さくできて、
かつ一個一個の数がその値がいくつになるかっていう表があるので、
計算できるようになるんですよ。大きな数を簡単に。
高校とかだっけ、対数表みたいな下敷きみたいなというか、
ファイルみたいなものをもらった気がするな。
多分有名なのがログ10の2が0.3010っていうのは、
数学科の人で、数学の受験の時とかに覚えてる人結構多いんですけど、
めっちゃ出てくるからですね。問題文に書いてあるんですけど。
なるほど。提示される方ではあるけど、好きな人は覚えちゃってるっていう。
そうですそうです。これを使うとですね、もう結論。
Nは4.8ぐらい。
早っ。
つまりですね、5時間とか半日。
半日どこじゃない?日中のまた半分ぐらい。
日中にも地球が覆われますと。
ちょっとここからはもう、ただの余談として聞いていただければと思うんですが、
じゃあですね、宇宙に飛ばしたじゃないですか。
飛ばしたところで?
宇宙って覆われないのかっていう話とかをするとですね、
かくかく近々計算すると、宇宙も大体24時間後ぐらいには覆い尽くされるんですよ。
へー。
で、つまり宇宙に飛ばしても解決できなくて、
ドラえもんマレージとか解決できないんですよ、宇宙に飛ばすのって。
21:02
なるほど。
丸1日後ぐらいにはまた宇宙から押し寄せられて地球側に来るみたいな。
いいこと言うそう。
宇宙が覆わした後、今度あれがブラックホールになるかどうかっていう議論があってですね。
なんかまた話が壮大になってきたけど。
ちょっと物理みたいな話をすると、ある結論ブラックホールになるんですよ。
だから大きくなったドラえもんはブラックホールになるっていう話なんですけれども、
地球はもう消えちゃうみたいな話かもしれないんですけれども、
どうやったら解決できるか。
もう完全余談ですよ。
どうやったら解決できるか。
解決ってなんだ?
解決できる方法があります。
解決。
解決できてると思う。
ドラえもんたちが生き延びるためにってこと?
そう。地球が壊れない方法が一つだけあって、
それは4次元ポケットに突っ込むことです。
おー。
なぜか。
4次元。
なぜか。
ドラやきというものは3次元のアイテムです。
はい。
なので、ちょっと数学の言うと座標っていう、
X軸、Y軸、Z軸、4次元になるともう1個軸ができるんですけど、
X軸とY軸とZ軸にはそれぞれ座標が入るので、
無限に増えていったらもうその3次元平面は全て覆いつくされるんですが、
そうね。
4次元目があると、
4次元目から眺めた時にただの大きな紙1枚に見える。
なるほど。
無限に増えたドラやきみたいな。
でなると、4次元の目線で見ると、
4次元が全て覆いつくされることはないので、
なるほど。
なるほど。
一応収納することができると。
なるほど。4次元ポケットに入れた瞬間に、
ペライチの紙状態になるってことか。
ある見方をすると、そう。
同じこと言ってると思うけど、やっと入ってきた。
そう。
なるほど。
なので、ドラえもんは解決策として4次元ポケットに戻すべきだったっていうのが余談なんですけれども、
めっちゃ面白い、めっちゃ面白い。
言いたいのは、指数っていうものはめちゃくちゃ大きくなるんですよ、
思ったよりもっていうネタと話をしたかったのと、
めちゃくちゃ大きい数、どうなるんだろうってイメージしたい時に、
ふくりとかは手元で計算してみるといいんですけれども、
地球規模の大きな話とかになると、
対数っていうものを使うと、大きなものを対数っていう魔法を使うことで、
結構簡単に扱える数になるので、
510兆の割り算とかも超大変じゃないですか。
510兆割る0.2とかやっていくと、
細かくなると大変なものを乗用対数、ログ対数というものを使うと、
分かりやすくなるよっていうことのお話でございました。
面白いね、特にまた本質じゃないところにはまっちまったんだけど。
24:06
これがゆるゆるですからね。
次元のところがまた面白くな感じてしまったけど。
私の大学の師匠的な人の一人が、
四次元を見えるようになる本というのを書いてる人なので、
これ調べちゃうと大学が分かっちゃうっていう話なんですが、
最近ご体感された先生なんですが、
次元については大学でも授業があったなっていうのを思います。
四次元ってどう伝えるとイメージ湧くかな、数学ビギナー的には。
数学ビギナー的には、例えば今あなたがいる場所に、
あなたがいるその場所の、
じゃあ例えばですけど、1時間後のあなたのいるその場所っていうのを見たときに、
別の人間が住んでるかもしれないんですよ。
っていうのが、だから時間っていうものを加えると、
そうだよね。
四次元に感じる。
やっぱそれがベストなのか。
そうなんかどっかで見た、例として見た気がして、
めっちゃわかりやすいなと思って、
四次元ポケットは一旦忘れたほうがいいんだけど、
三次元空間で僕らは普段生きていて、
そこに一個次元を加えるって言うと謎だけど、
時間って考えたら、
お、お、なるほどっていうアハ体験的なね。
そうなんです。
なので五次元あたりから何言ってるんだろうって、
数学の深い深淵に入っていくという感じでございますね。
確かに。
ちなみに物理ではもう日常的にN次元だからね。
あの想像できない話になっていくと。
そうなんだよね。
いや面白いね。
対数のさ、
事例系もまたどっかで取り扱いたいね。
そうですね。
対数も結構いろんなことが言えるので。
そうなんか今日は便利系だったけど、
これ音声だからまさにだけど、
音量、音圧、正確には音圧なのかな。
ちょっと正確なのはちょっとわかんないけど、
音の大きさみたいなものもね、
対数が絡んでたりとか、
いろいろね、ありますんで、
それはまたおいおい話しましょう。
物理屋さんのワクワクが出てきました。
って感じで改めてひよこさんお便りありがとうございます。
ありがとうございます。
ありがとうございました。
じゃあ今日はそんなとこですかねしみさま。
はい。
ぜひまたお便りいただけると嬉しいです。
はい。いつでもお待ちしております。
でどこで閉めますか。
閉めてください。
はい。なんか繰り返しになりますが、
この番組では皆様からの温かいお言葉、
27:02
ご感想、こんなテーマで話して欲しいなど、
お声をお待ちしております。
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お待ちしております。
あとはそうですね、
Apple Podcast、Spotifyのレビューも
いつでもお待ちしておりますので、
ポチッとね、ぜひお願いできると助かります。
はい。
ってとこで終わりますか。
そんなところでしみさま。
はい。ではまた頑張って更新します。
はい。じゃあまた次回お会いしましょう。
ではでは。
ではでは。
さよなら。
さよなら。
27:50

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