オイラーの天才性
8桁かける8桁ぐらいの計算は、数秒で暗算できたらしい。
やば。どうやって暗算するの?
いや、わかんない。どういうことなんだろうね。
どういうこと? 8桁かける8桁だよ。
コンピューターじゃん。 そう、ほぼコンピューター。
サイエントークです。 レンです。
エマです。サイエントークは、研究者とOLが科学をエンタメっぽく語るポッドキャストです。
もし、目が見えなくなったらどうします?
どうしよう。耳を頼りに生きていくしかないですね。
そうですね。でも、少なくとも落ち込むじゃないですか。
落ち込む。
だけど、目が見えなくなって、そのおかげで気が散らなくなって、前より研究に集中できるって言った研究者がいて。
やばい人もいるもんだね。
これ、結構有名なエピソードなんですけど。
それは、自己的に目が見えなくなっちゃったの?
病気でね。
病気とか、あとはちょっと研究しすぎてみたいなところもあるんだけど。
誰ですか?
二大巨頭って言われる数学者がいるんですよね。
それが、オイラーとガウスっていう人なんですけど。
今日そのオイラーさんの話です。
で、さっきのはオイラーさんのエピソード。
目が見えなくなっちゃったんだけど、頭の中で演算したことを口で喋って伝えて、それを書いてもらって。
目が見えなくても論文出してたし。
そうなんだ、すごいね。
少なくとも点字とか使って計算するのかと思ってたら、もう全部頭の中でやっちゃうんだ。
点字とかあったのかな?
1700年ぐらいの人なんですけど。
きついな。すごいね。頭の中で全部計算してある。
子供がそれをね、喋ったことを書き起こしてたらしいよね。
みたいなね、すごい人なんですよ。
それで、目見えないけど、頭の中の計算で月の軌道を計算してたりしてた。
やば。
超天才なんですよね。
人類の歴史の中でも稀に見る天才。
人類史上最も多くの論文を出したとも言われてる人。
数学の問題に取り組む
そうなの?
片手で子供をあやしながら、もう片方の手で論文を書いてたって言われてる。
それはドタバタだわ。
だいぶドタバタなんで。
普通にそれだけでもすごいのに、それで目が見えなかったんだね。
目が見えなくなっちゃったのは、生きてる間の最後の17年ぐらいなんだけど。
生きてる間に800以上の論文出して、印刷が間に合わないレベルだったらしい。
っていうすごい人がいて、今日はその人の人生とか、
あとはいっぱい功績あるんだけど、
なるべくね、ポッドキャストで話しても面白いなって思える公式とか、
そういう話をしたいなと思います。
最初にちょっと数学の話なんで、ちょっと有名な行跡の話からしたいなと思ってるんですけど、
ちょっと問題出しますね。
1たす2分の1たす3分の1たす4分の1たすって、ずっと無限に足し算していくとするじゃないですか。
はいはい。
これって答えどうなると思います?
え、なんか一つの値に収束する感じ?
まあそれはちょっと、それも含めて質問なんだけど。
収束するんじゃないですか?
あ、収束する。
わかんない。収束しそうなイメージだよね。
まあ感覚的には収束しそうだなって思うけど、
これ実は無限に足し算していったら無限に増えていくんですよ。
あ、そうなんだ。へえ。
何かの値に収束していくわけではないっていうのは証明されている。
意外と分数の足し算を無限にやると無限に発散するんですけど、
じゃあ似てる形の式で1たす2の2乗分の1たす3の2乗分の1たす4の2乗分の1たすっていう。
さっきの分母だけ2乗したやつ。
うんうんうん。
これはどうなると思います?
あ、これは収束する?
これは収束する。
ほう。
で、これ何に収束するかというと6分のπ2乗に収束するんですよ。
ほうほうほう。
なんじゃそれって感じじゃない?
すごいね、なんか。
なんかよく分からないけど、すごいね。
πって円周率ですけど、どっから円周率出てきたみたいな。
そうだね、うんうんうん。
結構不思議じゃないですか。
不思議不思議。
みたいな問題に取り組んでた人でもあるんですよね、この人。
これは証明して有名になった数学者なんですけど、オイラーさんって。
それが一番有名なの?オイラーさんって。
いや、一番ではないかな。
有名になったきっかけがこの式って言われてて、
これバーゼル問題っていう当時の未解決問題なんだけど。
オイラーの影響
これを20代で証明して、それですごい有名になった人なんですよね。
そうなんだ。
でもオイラーさんって聞いて、そんなにぱっと思い浮かばないんだけどさ。
今最大の功績として捉えられてるのは何なんだ?じゃあ。
最大の功績と言われてるのは、これ後でも説明するんだけど、
オイラーの等式とか結構こういう、今のってシンプルな足し算なのに急に円周率みたいなのが出てきたりしたじゃないですか。
で、足し算とか普通の大数学みたいな分野と円周率、πみたいな気化学の分野をまたがってるような公式とか、
そういうの結構作ってる人で。
へー、そうなんだ。
そうで、数学の三大分野って気化学と大数学とあと解析学なんですよね。
で、この解析学ってちょっとわかりにくいんだけど、前回も微分析分とかの話したんですけど、
あの辺も結構解析学の分野で、そこで出てくるネイピア数って多分高校数学で習うんだよね。
Eっていうやつ。覚えてるかな?
覚えてる。何で出てくるんだっけ、Eって。ログとかで出てくるっけ?
あ、そうそうそう。詳しく説明しないけど、微分とか析分とかをやるときにもう絶対出てくる数字で。
なんかやったなーっていうのは覚えてるけど、マジで忘れてらんなんだって感じ。
でも確かに今ウィキペリア見てるけど、オイラー数と呼ばれるって書いてるね。
そうそうそう。オイラーのスペルがEから始まるんだけど、そのEなんですよね。
あ、そうなんだ。めっちゃ使うね。
めっちゃ使う。で、なんで重要かって言ったら、音とか光とかって波の性質があると思うんだけど、
その波の性質を計算しようとしたときに、絶対これがないと計算できないみたいな。
物理にも大事だし、数学にも大事な数字。
これオイラーさんが定義してたり、あとサイン、コサイン、タンジェント。
懐かしい。
書き方、あれもオイラーさんだし、相和、足し算していく相和っていう記号のシグマっていうやつも学校で習うと思うんですけど、
あれもオイラーさんだし。
オイラーさんすごい。
あとベンズ。
ベンズ。重なってるやつね。
ベンズってオイラーズっていう定義の中に入ってるんだよね。
オイラーズのうちの一つみたいなってこと?
オイラーズは何かのものがあって、集合の相互関係を表すっていう図。
あれは全部オイラーズっていうんだけど、その中の重なってる部分があるとか。
完全に独立した2つの丸とかもオイラーズと言えば言うけど、そのうちの重なったやつがベンズっていうことか。
オイラーズの特殊なパターンをベンズと呼んでるみたいな。
その辺もオイラーさんですよ。
オイラーさんって結構いろんなことやってて。
全部数学ではあるけど、ベンズとシグマとEとかってちょっと違う分野な感じがするけど、いろんな分野やってるんだね。
シグマとEとかはちょっと近い分野なのかもしれないけど。
ベンズは数学なんだけど、結局それを使って物理学とかやってたらもうオイラーさんから逃れられないみたいな感じっていう人なんですけど。
オイラーさんに興味持ちましたかね、これで。
持ちました持ちました。とりあえずすごい人なんだなっていう。
どんな人だったかっていう人生をちょっと説明してみたいんですけど。
スイスの人で、家は牧師だったんですけど、普通に将来牧師になるっていう家系だったんだけど。
とある有名な数学一家みたいな、ベルヌー池っていう一家がいまして、めっちゃ数学者がいっぱい出てる、なんて言ったらいいんだろうな、そういう家系。
その人から父親が数学を学んだりしてたと。
オイラーさんの父親がね。
その縁もあって、息子にちょっと数学を教えてやってくれと。最初普通に勉強としてね。
そのベルヌー池の人が数学を教えてたんだけど、そこでめちゃめちゃ面白いってなって、数学が。
オイラーさんが数学面白いってなったんだ。
面白いってなったし、やっぱり才能があると見出されたみたいな。
で、そのベルヌー池の人が父親をなんとか説得して、オイラーさん、この子には数学やらせた方がいいと。
添付の資質が備わってるから牧師を諦めて数学者の道を歩ませてほしいっていうのを、わざわざお父さんに頼んだらしいの。
父親も昔の恩師だから分かりましたって言って、オイラーさん数学者の道に行くんですけど、
この時って数学者結構難しくて、今みたいに数学の教授がいてお給料もらって研究するっていうのはあんまり当たり前ではなくて、
学校の正式な教科として数学がないところも全然あった。
必須教科じゃなかったんですよね。
数学一番大事そうな気がするけどね。今の感じだと。
それでも教養として教えてる人がいたりとか、そういうのあって、だから数学者の道ってあんまりお金にはならないんですよね。
だけど数学を研究してる人たちがいて、今までの未解決の問題とかに懸賞金をつけて、これ解けた人に賞金あげますっていうのがあったと。
それでお金を稼いでいた感じ。
そう。20歳の時にそういう懸賞問題とか解いてお金もらってやったみたいな。
さっきの最初に言った1たす2の2乗分の1たす3の2乗分の1がずっとやっていくと6分のパイ2乗になりますみたいなので、それがお金になったりとかしてどんどん有名になっていったっていう人なんですよね。
さっきの最初のこれのきっかけだったバーゼル問題。
なんで6分のパイ2乗になるのか。
これ本当にガチで説明しようと思ったら口で説明するだけじゃ難しいんで、考え方だけ言うんですけど、こういう問題って正直計算をまず手でやるじゃないですか。
2の2乗分の1はこれぐらいで3の2乗分の1はこれぐらいでっていうのをまず小数で出してそれを足していくと。
これ答えが1.645ぐらいになるんですよね。
なんだけどじゃあそれが無限に発散していくのか何かの値に収束していくのかって判別するのって結構難しくて。
どうやってすんの?
それが100番目までやった時までやればなんとなくわかるのかとかあるじゃん。
でもそんな永遠にやるわけにはいかないから一般化して証明しなきゃいけないよね。
バーゼル問題の収束
そうそうそう一般化しないといけないんだけど、答えがある値に近づいていく時って例えば5回ぐらい足し算繰り返したらもう大体その値の近くになるっていう式もあれば200回ぐらい計算して初めてその値に近づいていくっていう式もある。
そうなんだ。
でこのなかなかその値にならないっていうのを収束が遅いっていう風にも言うんだけど。
でこのバーゼル問題に関しては200番目ぐらいまで計算してやっと少数点以下第2位ぐらいまでがわかるみたいなすごい収束が遅い。
だから難しいっていう式だったんだけどこれをまず公式化しましょうっていうのでここでシグマとかが出てくるんだけど足し算していく。
その式を変形して積分とか使うんだけどでそれを公式化すると4番目ぐらいまで計算したら1.64超えるっていうその式の変換がまずすごいできた。
どういうこと?公式化すると4番目までっていうのは。
ある程度この足し算1個1個じゃなくて何番目まではこれで一気に計算できるとかいう式を高速化したみたいなことなんだけど。
Nとか使うの?
あそうそうNとか使って。
使ってなんかそのシグマで表してで別のなんかNを使う式に変えてでそれでそのNを少しずつ増やしていくのがそれ4番目でできる。
そう4番目ぐらいでできる。で結構1.6449なんちらなんちらぐらいまでだっていうのがその式でわかったと。
でも結局それも無限に繰り返さないとわかんないってなっちゃうんだけどで諦めた人が結構多かったんだけど。
だからオイラーさんがすごかったって言われてるのはこの数字を見て6分のπ2乗っぽくねって気づいたらしいんだよ。
意味わかんないんだけど。
そっかじゃあそもそもさその1たす2分の1の2乗と3分の1の2乗とみたいなそういうのがイコール6分のπ2乗になるっていうことは知られてなくってただなんか発端するか発端しないかを証明しなきゃいけなかったけど。
あーそうねその方が正しい説明だ。
そっかそっかそっか初めから分かってたわけじゃないんだね。
あごめん分かってなかった。
そっかそっかでもその証明していく過程の中で収束するってこともわかったし6分のπ2乗になることもわかったのね。
オイラーの家族と研究
そうでそれが実際計算してたやつの小数点以下第11位ぐらいまでが一致しててってことは6分のπ2乗から逆に考えたらわかるかもとかね。
そっからサインとかコアサインとか出てくるんだけどで証明ができたってなってすごい有名になった。
なるほどね。
じゃあその6分のπ2乗になるって気づかなければむしろ収束するっていうふうに証明できなかったのかな。
いやそれはわかんないけど後は言われてるね。
えーすごいね。
いやすごいよ。
そもそも式変換してとか簡単に言ったけどそこも難しいんだけど。
それで有名にはなって後はパトロンみたいな人もついてお金出してくれる。
でなんとか生活してはいけるようになって。
でそこから結婚して子供が13人できるんですけど。
多いな。
多いんだけどちゃんと成人まで成長できた子供は6人って言われててすごい少ないんだよね。
当時のものから。
当時の医療とかかな。
でその子育てしながらずっと最初に言った子供を膝の上で怪しながら計算して論文を書いてみたいなずっとやつだと。
でそれが後々目が見えなくなった時に子供が結構数学とかもわかったんで筆記してもらうっていうのにつながっていくんだけどその子供たちがね。
30歳ぐらいの時に天文学の分野でも難しい問題解けたら賞金出しますっていうことをやってたらしくて。
でそれもすごい難しいんで普通の他の数学者は数ヶ月ぐらいかければできますみたいなちょっと待ってくださいって言ったんだけど。
オイラーさんはそれをぶっ通しで3日間で解いたって言われてて。
でその1日間没頭しててそういうのもきっかけでまず片方の目が視力がなくなっちゃったと。
30歳で。
どんだけ没頭したらそんな視力なくなるんだろうね。
いやわかんないけど。
そうだから30歳から片目になっちゃうんですよね。
そうなんだ。
まあ当時の医療とか衛生状況とかそういうのもあるのかもしれないけどね。
まあそうだね。
ちなみに何年くらい生きてたんだってオイラーさんが。
それ言ってなかったか。1707年生まれですね。
だから前まで話してたニュートンとかライプニッツの次の世代って感じ。
次の世代か。
で割とこうやってる分野も似てたんで、罵倒受け取ったみたいな感じだよねオイラー。
そっからまあいろんな業績、後でちょっとまた何個か紹介するけど。
出しながら30年くらい経ったらもう片方の目も白内障にかかっちゃったって言われてるんだけど。
目が見えなくなってしまって。
最新の研究は目見えないけど他の教授と喋ってインプットして。
で頭の中で計算してローム書いてたんだけど。
8桁かける8桁ぐらいの計算は数秒で暗算できたらしい。
やば。どうやって暗算するの?
いやわかんない。どういうことなんだろうね。
8桁かける8桁だよ。
コンピューターじゃん。
ほぼコンピューター。
ソロ版みたいな暗算のメソッドがあったのかな当時。
いやわかんない。でも記憶力も異常に良かったって言われてて。
読んだ古典文学とかも何ページに何書いてるとかも記憶してたりとか。
なるほどね。
じゃあそもそも九九の幅が広いみたいな感じかな。
私たち九九だったら全部覚えるじゃん。
それを8桁かける8桁ぐらいだったらもう全部覚えてるみたいな。
覚えてるのか出してるのかでも覚えるの無理じゃない?
覚えるのは無理だよね。
6分のパイ以上っぽいなっていうのをわかるっていう時点で
それなりにこれはこの数だみたいな覚えてそう。
その感覚あったから多分わかったんじゃない?
覚えるのプラスも頭の回転が異常に早いとかかな。
そうそう。
で、ある時に二人の弟子に同じ結構何十行もかかるような計算をさせて
オイラーの定理と影響
50行目ぐらいまで計算したところでその二人の計算が合わなくなったらしいの。
どっちかがこれ計算ミスしてるぞってなった時に
頭の中で暗算してこっちが正しいよって言い当てたりとか。
どういうこと?
ちょっと異常はないよね。
なんでかはわかんない。
すごい人だったっていう。
やばい人だね。
他の人とかがね、人が息を吸うように、鳥が空を飛ぶように
オイラーは計算してたっていう言葉を残してて。
すごい。何のために?
究極の数学教みたいな感じなんだな。
そうだね。数学教だね。
でもなんか意外と人柄は普通だったみたいなのが残ってるな。
そうなんだ。子供ね、めちゃくちゃ育ててたしね。
どっかなんかさ、変なとこあるよと思うんだけど。
人間としてめちゃおかしいみたいなのあんのかなと思ったけど
意外とそんなことないみたいな。
いい人じゃん。ただの天才で別にそんなにねじ曲がったところはないっていう。
いい人だね。
残ってる情報的にはね。
まあっていう人で、あとどんなことやってたかっていうと
オイラーの多面体定理っていうのがあるんだけど
これもね、また全然違うちょっと幾何学っぽい話で
立方体ってあるじゃん。
一番簡単なのはサイコロの正六面体とかを想像しやすいと思うんだけど
あれの頂点の数と辺の数と面の数。
あれってちゃんとルールがあるんだよね。
頂点の数引く辺の数足す面の数は絶対に2になる。
これは全ての突多面体っていうんだけど
凹んだところがないような立方体は絶対これが成り立つっていうのを証明してる。
だからさっきのサイコロの例で言うと頂点は8個ありますよね。
で辺は12本ある。仕掛け1個が4つでそれが2つとそれ繋いでるので12個で
で面は6面あるじゃないですか。
だから8-12たす6イコール2なんですよね。
これすごい綺麗だなと思って。
これもオイラーさんの名前がついてる式。
それはオイラーさんがそもそも発見してプラス正面の下の?
そうだと思う。
世界で2番目に美しい式だって言ってる人とかもいて。
一番ではないんだね。
でも一番のもオイラーさんの式なんですけど。
一番はこれすごい有名でオイラーの等式っていうのがあるんですよね。
これが良さを伝えるのがすごく難しいんだけど
最初に言ってたネイピアスEのiπ乗たす1は0になるっていう式なんだけど
何がすごいかというとEってさっき言ったように微分積分とか重要な数字で
iって巨数。
これって大数学の時に巨数すごい発見面白いよねみたいな話したんですけど
そのiとあとはπっていう円周率これ気化学で出てくる数字
それが組み合わさって1足すと絶対0になるっていう
これすごい不思議なんよね。
不思議って言ったら悪いかもしれないけど。
それはさっき言ってた3つの数学の分野が1つの等式に入ってるみたいな感じ?
解析学と大数学と気化学。
全部繋がってる式Eのiπ乗に1足したら0になる。
へーって感じなんだけど。
個人的にはさっきの2番目の式の方が美しい感じがするけどね。
多面体定理。
多面体のやつの方が直感的に分かりやすい。
これもすごいと思う。
そのEのiπ乗プラス1っていうのはすぐ直感的に分かる感じじゃないから
ちょっと凄さがパッと聞いて分かんない感じはするけど。
だけど物理とかで最初の方にも言ったけど
波の性質とかを解析したい、計算したいってなった時に
こういう他のジャンルを繋いでる式があると変換できたりするじゃないですか。
だからただの物理現象を数学でちゃんと証明してっていう計算ができるようになるんで
すごい重要なんですよね。
なるほどね。役立ちそうだね。
ぐらいかな言えるの。
細かい話結構、ここを全部理解してるわけじゃないけど。
とにかく数学の天才であり、それが物理にも繋がっていくっていう人なんですけど
最後おじいさんになってもずっと最後まで数学とか天文学やってたんですけど
なんかね、これ諸説あると思うんだけど
1783年、77歳の時かな?に天王星が結構離れてるじゃないですか地球から
でそれがちょうど見つかったみたいな
でそれの軌道を計算してた時に
死ぬよって言って死んだらしい。
本当かって思うんだけど
どういうこと?
死ぬよと言って息を引き取ったっていう
今から私死にますって?
オイラーの業績と影響
しかもそれがよくわかんないけど天王星の軌道を計算したい時だったんだ。
なんかね、脳卒中になって倒れたっていう説もあったりするんだけど
とにかくもう最後までそういう天文の計算とかもずっと計算し続けてたらしいの一生。
ちなみにさ、その時代ってさ天動説から地動説になってた?
地動説になってますね。
全然世代的にはガリレオよりかなり後なんで
てかその話しなかったっけ?天動説、地動説の
うん、したけど時代がどっちが先だったかなって思って
最近あれか地を見て
思ったっていうことね
地めっちゃハマってる
めっちゃハマってるよね今
天動説だったら軌道全然違う風に考えるじゃんなんか
そうね、都合を合わせて計算するやつね
だからどちらだったんだろうなーって思って
普通に地動説だと思うな
っていう人でした、オイラーさんは
数学界のヒーローみたいな人でしたね
そうだね、だから数学界の巨人と呼ばれてる人です
冷静に8桁かける8桁の計算、手でもできるかな?
いや、できないわ、私
ミスりそうじゃない?
絶対ミスる
だって8桁ってことは1000万でしょ?
うん、そんぐらい
何千万かける何千万のかけ算だよね
うん、やばい
意味がわからん
どうやってやってたのかが気になるけど
そこらへんの記録が残ってないのかな
どうやってやってたんだろうね
それは本人に聞かないとわからないですよね
その8桁かける8桁の計算の方法も残しておいてほしかった
方法とかいう話なのかな、これ
オイラーさんしかできない方法なのかもしれないけど
ちょっと気になるね
頭の中でどうやって考えてるかみたいな
そうそうそう、オイラーさんの頭の中がちょっと気になるね
そうだね、どうやってんだろうね、わかんない
数学界でさ、この人が一番すごい、この人が2番目にすごいみたいな
そういうランク付けみたいなのがあるのかな
ランク付けね
でも現代の数学界ですごい人って言ったら
結構このオイラーさんと、これ次回話すと思うんですけど
ガウスっていうもう一人
その二人がよく名前出てくる
そうなんだ、これまでもアイプニッツとか出てきたけど
それよりもやっぱオイラーさんとガウスさんがすごい
でもどういう文脈で言うかにもよるけどな
そうだよね
とりあえずオイラーさんは格別な感じがしましたね
有名な数学者って感じですね
あとは時代によってもちょっと違うかもしれないけど
古代ギリシャだったらピタゴラスが有名ですとか
アルキメイスがいましたとかもちろんあるし
でも17世紀18世紀ぐらいになると
ニュートンの次の時代になってるんで
結構有名な数学者とかもいっぱい出てきてっていう時代でもあった
時代が進めば進むほどもうすでに分かってることが高度だから
新しい発見がさらに高度で複雑化して
一般の人にはすごいのかすごくないのかすらも分からないみたいな
レベルになるよね
まだピタゴラスがあったら分かるけど
すごく分かりやすいのが
ニュートンがプリンキピアみたいな本出して
みんなすごいぞこれはってなったりしてたわけじゃないか
でもそれが普通に教えられたりして
そこがスタートラインになって新しい数学者とか生まれてってるんで
レベルはどんどんどんどん上がってってる
実際1700年代とかはそういう感じだったみたいな
時代が進めば進むほど頭がいい研究者が求められるっていうことかな
どうだね頭がいいをどうやって測るか
だけどそもそもねそういう
どうなんだそれまでに8桁×8桁の数学の計算できた人いたのかとか
気になるところであるけど
てか今もいんのかなそういう人
今そういう人いたらそういう人に聞いてみたいねどうやってやるのかって
そうね有名な公式とかめっちゃ思いついちゃう数学者とかいたりするけど
そうそういないよな
っていう人でしたオイラーさん
数学者たちの比較
結構有名知ってる人も多いんじゃないかな
名前聞いたことある人は絶対多いと思いますね
公式の名前に結構入ってるんで
じゃあ今回はその人の人生とか人となりが分かる回でしたね
なんかドタバタ具合が伝わったかわかんないけど
静かにドタバタしてたかもしれない
なんか発見のヤバさがヤバすぎてドタバタみたいなところもあるよね
そういうドタバタもある
せわしない感じだったかな
という感じでした
他の数学者の話とかも過去のやついろいろ出してますんで
気になった方は聞いてみてください
それでは皆さんウルトラフォー
さようなら
