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数学ナビゲーターしみと、数学ナビサレーターのゆとです。ゆる数学ラジオ始まりました。始まりました。よろしくお願いします。よろしくお願いします。
虚数回の何回目ですか?虚数虚数虚数虚数虚数虚数虚数。3回目ですね。3回目の虚数回ですね。
まだまだ行けますね。マジっすか。楽しいですね。楽しいっすか。
今日はですよ。今日は前回の予告もしましたが、もう1回同じ言葉そのまま変わりますよ。
さまざまな科学分野で必要不可欠な、人類の司法と呼ばれる、オイラーの公式でございます。
そうね、司法だ。司法ですよ。もう人類の発明として、すごい、そしてオイラーっていう超天才数学者が見つけた公式でですね、有名なやつで言うとですね、
eのiπ乗イコールマイナス1。これ有名なやつです。比較的。eのiπ乗イコールマイナス1。これ有名なんだ。
数学の人からすると有名ですね。物理の人からしてももう区区的な感じですね。
このeとiとπという数学でよく使う実体のよくわからない文字が3つも出てきて、しかもπ乗ってもう3.1415、そんな数あるんかいなですし、eも2.2いくつですよね。
7182みたいな。iって自乗してマイナス1になる数ですから、もう意味がわからないものをかけてマイナス1になるんです。
意味わかんないものに意味のわかんない数を何乗みたいにして、なぜか綺麗な数になるマイナス1。そうなんです。もうね、不思議でならない。もうこれを当たり前のように最初に使い始めるともうね、なんでってなるんですよね。
意味がわからない。意味がわからないんですが、これってもともとですね、オイラーの公式でもう一個手前のやつというかもうちょっと長いやつがあってですね。長いやつ。それがeのix乗イコールコサインxプラスアイサインx。これがオイラーの公式ですね。
もう一回復習してもらっていいですか。もう一回いきますね。eのix乗イコールコサインxプラスアイサインx。アイサインxのiが虚数。あ、eの方も出るか。eの方にも出てくる。
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eのix乗で。わかる人にはですね、これxにπを代入したものが最初に言った、eのipi乗イコールマイナス1なんですけれども。これはね、高校数学ぐらいやってればいけるっていう。高校数学ぐらいやってるとコサインπがマイナス1。
で、サインのπっていうのは0になるので、右側のコサインxプラスアイサインxにπを入れると、xにπを代入するとマイナス1になると。πを代入とか意味わかんねーって人はね、ラジアンでググるといいかな。ラジアンでググるといいと思います。
まあそういうもんなんだと思ってくれればいいんですけれども、じゃあこの今日はですね、たぶん高校まで数学やってた人も雰囲気ぐらいかもしれないですし、もうなんかその公式を見つけた神様みたいな数学者がいることで、結構世の中のことが解き明かされてるんだなっていうのと、
サイン、コサインとか、イイとか、πとか、アイとか、なんか数学の中で聞いたことあるような難しいものがなんと全部一個の式にきれいに出てくるんだというものが公式としてあるっていうことが知ってもらえたらいいかなとは思います。
つまりいろんなことをやってきたものが実はたった一個のこの公式に全部つながって出てくるっていうんですかね、それらの関係をこう一つの式で解き明かされるんですっていうことなんですけど。
これさ、なんか俺の言葉だと言えないけど、たぶん数学的に言える話でいくとさ、なんか数学的なさ、代表的なこう分野、ジャンル的なのがさ、πが出てくるジャンルとみたいな、それは結構さ、違うジャンルのやつがπだったりイイだったりアイだったりするっていう噂を聞いたんだけど、だからこそなんかそれが統合された式っていうのが美しいみたいな。
そうなんです。これ高校数学で言うとイイが出てくるのはおそらく指数対数関数っていう数学の2で習う、もしくは微分とか積分で出てきます。
はいはい、微積的なジャンルとかそっち系でイイが出てくると。
イイが出てくると。で、アイは複素数平面っていう前回の縦軸が複素数で右が実数軸みたいな、その複素数っていう独立した分野で出てくるのがアイ。
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若干非科学的な雰囲気、図みたいな。
それで言うと全部座標っていうか、それは共通してるの中には載せられる。指数関数対数関数もグラフって書けるし、サインやコサインもグラフは書けるし、アイもグラフの中に載せられるので。
そこは共通か。
全部グラフの中での、この後話すことにちょっとつながる。
そうなんだ。
これらが全部グラフ上で見に行くと、なるほど、なんとなくそういうことが言いたいんだって、ちょっと分かってもらうのが今日のゴールなんですけど、
でも習うの自体は大体全部高校2年生で習う。
タイミングはそうなんだ。
タイミングは三角関数も多分高校2年生、対数関数指数関数も高校2年生、微分積分も高校2年生、極素数、虚数自体を習うのはおそらく高校2年生。
人によっては早い人遅い人いると思うけれども、
もちろん。
大体その数学2の中で出てくる奴らが全部1個の公式に実はつながってるんやっていう、正規の大発明ですよこれは。
なるほどね。
これどうやって証明するのっていうと、それぞれをクローリン展開と言って、
これも大学の数学の多分ほとんどの人が大学1年生の、
初っ端にやる気がする。
割と早い段階で習うんですね。
数を多項式って言って、
いくつかのこう、Xたす、X2乗たす、X3乗たす、X4乗たす、X5乗たす、6乗、7乗、8乗みたいな、
たくさん並べたようなもので、
サインっていうものを式で言い換えると、
大体どういうものになるか、
コサインを言い換えると大体どうなるかとか、
Eを言い換えると、EのX乗を言い換えるとかな、
大体どうなるかなみたいなのを、大学になると習うんですね。
置き換えるっていうのが近いのかな、大体。
そうね、だからπとかと一緒で、結局その式は無限に続くんだよね。
そう、続く。
だよね。
X、X3乗、5乗、7乗、9乗とか、2乗、4乗、6乗とか、
てんてんてんてんてんってやつだよね、結局。
そうですそうです。
3Xがとか、計算しやすくしたりするときに使うよね。
近似とか。
そうそう、近似ってやつに近い。
そうですそうです。
近似するときのやり方、近似の式の出し方ですね。
近似っていう言葉が新しいかもしれない。
新しいね。近似というのはですね、
すいません。
でも大体、近くにせるって漢字で書くように。
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そうね。近くにせるで近似だね。それっぽいというか。
それっぽいやつに、正確にはちょっと変わってるんだけど、
それっぽいやつに似せようとするっていうことを数学でやれたりするんですよね。
そうね。
でですね、それをすると、
サインでやるコサインでやるイのIT乗とかでやると、
X乗か、大体綺麗になってますよっていうのが大学生になると証明できるんですけれども、
それだけで言うと残っちゃった話なので、
ちょっとさっきチラッと話した図形で考えるとなんとなく性質が似てるんですみたいなところの話を
ちょっとできるといいなと今日は思ってまして、
それでもごめん、ちょっと多分難しい気はする。
なので、雰囲気だけでもとは思うんですけれども、
まずこの公式が言ってることって、
EのIX乗で、要は何かの指数関数、
指数っていうのは右上に小さくなる数が乗っかる2乗3乗みたいな、
右上に乗っかるちっちゃい数字ね。
指数関数ってめっちゃ増えていくやつ。
どんどんどんどん増えていくようなやつを、
サインとコサインのグラフを、
サイン足したやつでイコール。
同じなんですよね、特徴が。
つまり何言ってるかっていうと、
これ直感的には何言ってるのって感じるんですよ。
今ね、何も分かってない、俺。
じゃあちょっと言い直すね。
まず、指数関数っていうのはですね、
思い浮かべてもらうと、
2の2乗は4、2の3乗は8、2の4乗は16、
32、64、128、256、512、1024、1048みたいな、
どんどんどんどんめっちゃでかくなっていくんですよ。
そのあっという間に大きくなるような数を、
グラフを思い浮かべてみてください。
キュイーンと。
超右肩上がり。
反り立つ壁ね。
こんな風にもう業績成長したらもうビジネス最高。
最高、最高です。
で、サインとかコサインはですね、波です、波。
増え続けたりしないね。
増え続けたりしないですって、
すごい大きな数にいきなりなるわけでもない。
波々するだけ。
波々するだけ、もうビジネスで言うと調子乗んなみたいなやつですよ。
あとはゼフ長な時もいつか復活するみたいな話ですね。
確かに。
ポジティブにもネガティブにも言えますが、
そういうのが三角関数です。
人生山あり谷あり。
山あり谷あり。
で、サインもコサインも同じようなもんですよ。
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山あり谷ありです。
で、この山あり谷ありと山あり谷ありを何らかしてこう足すと、
反り立つ壁と同じようになるってこと言ってるんだよね、これ。
グラフ的に言うと。
オイラーの公式が?
オイラーの公式が。
eのix乗イコール?
コサインxプラスiサインx。
それをグラフ的に雰囲気を見ようとすると、
左側のやつはめっちゃ増えるやつだし、
右側のやつはウネウネしてるだけかと思いきや、
なんか足し算i絡めてやったらイコールで結ばれんじゃんみたいな。
なんでやねんみたいな感じですね。
確かに。
ここまではまあなんでやねんという感じに。
なんでやねん、もうまだなんでやねんだけどね。
左がめっちゃ増えるとしたら右もめっちゃ増えないといけないし、
右見るとめっちゃ増えなさそうだし、サインコサインだし。
そうなんですよ。
左見るとめっちゃ増えそうだし。
そうなんです。
で、ここからeのixイコールコサインxプラスiサインxというものの雰囲気をわかるために、
ちょっとxっていうと伝えにくいというかわかりにくい部分があるので、
xをtとします。
時間とか角度とかのイメージで。
置き換えましょうか。
置き換えましょう。
eのit乗イコールコサインtプラスiサインtと置きます。
本当にxがtに変わっただけだよね。
xがtに変わっただけです。
で、今度まず右側のコサインtプラスiサインtというものを、
縦軸が挙数挙軸、横軸が実数軸のグラフの中でこの点を表そうとすると、
実数がコサインt、挙数の方がiサインtになると、
コサインt、サインtの点って、
これも高校で数学をやってると、
真ん中0,0を中心とした半径1の円の円周上にある点を表しているんですね。
このtがいろいろ変わっていくと、
その角度が0度とか30度とか60度とか90度とかいろいろ回っていきますが、
とにかく右側のコサインtプラスiサインtというのは、
原点を中心とする半径1の円周上の点、
動いていくような点のことを言っています。
そういうことか。
円を表しているだと若干ニュアンス間違っているのか。
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若干。
円周上のどこかの点を打つ関数みたいな感じ?
tをいろいろ動かしていくと、その円を描きます。
はいはい。
tをいい感じに動かすと、
半径とか半時計回りに回りますみたいな。
そうです。
時計回りに回りますみたいな。
そうです。
そういう動きをする関数ってことか。
そうです。
コサインtプラスiサインt。
なるほどね。
なんとなく円の中をめっちゃ動いてるんだなっていう感じですね。
くるくるくるくる回ると。
くるくるくるくる回る。
今度左側のですね。
eのit乗ね。
eのit乗ですね。
左辺。
これについていろいろ話していくときに、
ちょっとeのt乗ってどういうものかとか。
改めて虚数ってiってなんだっけとか。
なので数学の高校2年生で習う数学のほんと全てがつながってるような公式だったことが改めて言いたいんですけど。
なるほど。
その辺があるとこの左側の左辺の性質がちょっと見えていくので。
なるほど。
先に回答だけ先回りしちゃうと。
いいよ。
でも中身別に言うわけじゃないんだけど。
右の関数が円周上の点って言ったからさ。
そう。
左もそうなるんだよね。
そう。
なるほどね。
それを今から見ていくよっていう。
なるほど。
確かになるよねっていう。
確かになるよねっていうのを雰囲気として見ていくと。
要はここで言ってるオイラーの公式って複素数平面と言って、
複素数まで見た、虚数まで見た世界で中心を0とする半径1の円を描いて、
ぐるぐるっとその円周上を越えていく点の集まりのことを式として言ってるだけなんだよみたいな。
なるほどね。
が最後言いたいことですね。
一旦左辺のEさんの方を深掘りしていくっていう感じですかね。
Eさんの方をちょっと深掘りしていければと思うんですけれども、
さっきまでの右側のcos t プラス i sin t というのは複素数平面で原点が0、半径が1の円周上にある点なんだなっていう雰囲気がわかりました。
そうね。くるくるくるくる回ると。
くるくるくるくる回ると。
左側のEの it 乗って何なのかなとかって思うと、
t がいろいろ数が変わっていくんですけれども、
t が 0 の時は結構わかりやすい。
E の 0 乗だから。
i かけ 0 は 0 だもんね。
i かけ 0 は 0。
で E の 0 乗。
何かの 0 乗は 1 なんですね。
E はようわからんけど、何かの 0 乗は全部 1 と。
全部 1 です。なので、さっきので言うと、その n 乗で言うと、ここ 3 乗の場所にあります。
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n 乗の 3 乗の点なんですよ。
はいはい。E の 0 乗はね。
E の 0 乗。
スタート地点。
スタート地点。で、これがどう動いていくかの雰囲気で言うと。
なるほどなるほど。次の点を置いてみるんだ。
そうです。今 n 乗の 3 乗にいるやつなんですけど、これが t を変えていったらどう動くかって言うとですね、
もうすごくはしょるとですね、すごくはしょりますね。詳しくは物理に譲るんですが、微分して出てきたものの方向とかがですね、こう動いていく方向を表すんです。
大学物理だよね。
大学物理です。で、それがこう動いていきながら、何かどう動くかっていうのをもうシミュレーションします。
シミュレーションしたらですね、これも円を回るんですよ。スタートが 3 乗のところからでどんどん変えていくと、同じように円を回っていくんですと。
うんうん。
で、じゃあ左側と右側の回るスピードは一緒なのかって言うとですね、これも実際には一緒なんです。
なるほどね。
一緒なんですっていうことが、まあ実は言えますと。
なるほどね。
これはですね、黒板を使って解説をしてもですね、たぶん大学の授業でも一コマ丸々使う90分大学教授がダーッと説明をして、質問とか無視してダーッと説明して、たぶん90分くらいかかるような話を雰囲気だけ分かろうとしているのでですね、極めて難しいなというのと、最初、私は左側の左辺を取り立つ壁だと言ったのに、なんで円を回るんですかね。
なんで円なんだって。
取り立たないね。
取り立ってないじゃないかと。
ある意味、取り立っているのか。
取り立ち続けてこう回っちゃって、あのジェットコースターみたいな。
あ、そうそうそうそう。
そんなノリなのかな。
取り立つ方向が変わるんです。
言っていること分かるから、つまり。
取り立ち続けるんだね。
取り立ち続けようとするのを常に違う方向、違う方向に向いていくと、気づいたら円を回っちゃうよっていう性質なんですけれども、たぶん、あのですね、これは私大学の時にちゃんと答出はできませんでした。
できませんでした。
ラテンカーすればできるんでしょうって言って、それはできるんですけど、その性質を今みたいに図形的に理解はあんまりしてなかった。
いや、俺もしてなかったね。
言いたいことはですね、高校数学で学ぶ、一見すると高校生の時になんでこれ学ぶんだろうって思った者たち。
三角関数、ベクトル、微分積分、複素数、三角関数、かぶってるかな。
かぶっててもいいよ。
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あたりが全部一個の式でつながっていて、それがオイラーの公式と言われるものであり、おそらくこの近代数学、現代数学における人類の司法とも、そればっか言ってんな。
すげえ発明なんですよ。これを使うことで、たぶん物理学はめちゃめちゃ発展したんじゃないかな。
いや、ほんとそう。オイラーの最初のEのiπ乗るマイナス1とかでEをいい感じに消したりとかもするし、さっきのオイラーの公式、左にEがあって右側のcosのやつをどっちかに寄せるっていうかね。
そうだよね。
式をE的な表現に集約するとめっちゃ解きやすくなったりとか。逆にそうしないと解けないとかかな。
そうだよね。
逆もあるのかな、みたいな。めちゃめちゃ使えますね。
はい。なので、実はすごい世の中のことを知るとつながっているよっていうのを高校生の時にね、みんな知ってたりしたらいいなと思って。
だけど厳密に伝えようとすると、さっきも90分かかると言ったんですけど、雰囲気だけでも知ってたら、これを見てる人が、中高生のうちからそういうのを見てくれてたら、それはそれで高校で学ぶ数学って、すげーわくわくするというか、ほんとなんか世の中の公式の、世の中の公式って言っていいのかな。
運動法定式、いくつか多分世の中すげー公式だと思うのがあるんですけど、その中の一つであるものに全部行き着いていますし、それにつながることを学んでるんだなって思うと、そこ面白いなって思う人は、大学でもそういうところまで学んでいくと、結構面白いんじゃないかなっていうのを、
高校の時知りたかったなという思いを込めつつ、かつ、大学教授はこれの公式めっちゃ厳密にすんげーわかりにくくやってたなとかは今の悪口みたいだけど、なんか思い返すと、雰囲気だけでもこうね、面白く伝えたいなと思って、今回、オイラーの公式を選んでみたというか、話してみました。
そうだね、美しさっていう感覚でいくと、やっぱあんまり意識してこなかったんだけど、最初に質問してたように、全然違うジャンルのというかね、さっきも言ってたか、全然違う奴らがなんだかつながるっていう、これのね、美しさちょっとどんぐらい伝わってるかわかんないけど、多分興味持ってより調べてもらえると、どっかでわかるかもしれないぐらいかな。
eのiπ以上イコールマイナス1はマジで美しい。マジで。
マジで美しいね。
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だって、πって何?eって何?大学。
数学をやってて、2大、結構続いていくその、1、3、5、3.1みたいな話じゃない、すごい続いていくのに、超いっぱい使われる2つの世の中において大事な数なんですよ、eとπって。
それをiでつなげたみたいな感じか。
それを複素数という、今、巨数という妄想で作ったのか、その概念が必然だと思うといいのか、見つけ出したものなのか、真理なのかわからないですけど、それをつなぐことでマイナス1、1みたいな感じですからね。
すんごいね。
すんごいんですよ、これは。
このテンションですごいと思えるまでちょっとね、つき進む、興味持った方は、つき進んでいただけると嬉しいですね。
嬉しいですね。
それは必ずしも理学部数学科に行かなくてもできると思いますし、結構本出てると思います、このオイラーの公式系は。
youtubeもね、結構充実した、版初期、版初期してちゃんと説明してるコンテンツがね、結構ありますから。
はい、でもまあ耳で聞くぐらいがちょうどいいかもしれないですよ。
結構挫折しちゃうかもしれない。
まあまあ。
でもね、面白いと思うことは超大事。
その好奇心があるときに学べると、結構すっとわかるというか。
唐突に言われるから多分みんな挫折するんであって、面白いなって分かった状態でこの版初期への授業とか聞くと多分すごい変わると思う。
そうね、そんな役に立ちたいラジオでございます。
ラジオでございます。
はい、そんな感じで締めますかね。
はい、締めましょう。
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喜びます。
お願いします。
お願いします。
はい、ということで終わりますか。
終わりましょう。
はい、最後までお聞きくださりありがとうございました。
ありがとうございました。
ではではさよなら。
さよなら。
