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数学ナビゲーターしみと、数学ナビサレーターのゆとです。
ゆる数学ラジオ始まりました。
始まりました。よろしくお願いします。
よろしくお願いします。
はい、最近ちょっと難しめですけど。
今回はですね、難しいです。
はっきりと?
はい、多分難しいです。
今日は、より難しいと。
今日はですね、理学部の数学科に入って、大学1年生の春、
はい、初っ端。
初っ端に多分多くの数学科が習うんですけど、
しみ調査によるとですね、
しみ調査。
約3分の2ぐらいの人が、これからお話をする、
イプシロンデルタ論法というですね、
イプシロンデルタ論法。
はい、イプシロンデルタ論法によって、
ちょっと数学をなめてましたと、
気づかされてですね、
はい、ちょっとこう、
メタメタにされると。
メタメタに最初にされる人が多いんじゃないかなと思う、
はい、お話でございますので、完全にあの、大学の数学です、まず前提として。
ジャンルというかね、ものとしては。
はい、高校までではやらない話なんですけど、
なんですけど、高校生までの算数、数学を習っていて、
あれ、本当にそうなの?って思った人もいるかもしれないことを、
ちゃんと考えると、こうやって考えるんだよっていうお話でございます。
あー、なるほど、まだ何か言ってないけど、ちょっとイメージはなんとなく。
はい、で、そのキーワードはですね、
限りなく。
限りなく?
はい、でございます。
限りなく?
なんか、それらしいとしてこうね、扱っちゃうことってよくありますよね。
なんか、数学じゃなくてもこう。
数学じゃなくてもね。
あー、なんか、まあまあまあ、こうなるよね、みたいな。
まあ、こうなるよね、みたいな。
それ、それです。
なるほど、なるほど。
あ、だからそれを、高校まではそうやってたけど、っていう話。
はい、あの、大学生になると、そうやっちゃダメなので、
はい、厳密に。
厳密に扱うと、正しく数学すると、こうやってやるんだな、みたいな。
はい、3分の2爆死しますね。
3分の2が激鎮すると。
はい、なので、
今日の、はい、このラジオはですね、
うん。
もしかしたら、大学で数学学んでみたかったかもって思う人とかは、
うん。
あ、こんなことやるんだなっていう、
なんか、
強要的に、あ、なんか厳密にというよりかは、
はい、あの、こんな、
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あ、そういう、なんか、数学科って、
うん。
なるほど、なんか、そういうことやるから、
なんか、こう、1たす1は2であることの証明とか、
たまに言うけど、
そういう風にはまってくんだなっていうのに、
なるほどね。
あの、気づいてもらったり、
まあ、高校生、中学生だと、
なんとなく、
数学に違和感を持ったことがある人が、
うん。
大学とかまで行ってやると、
その違和感ってなくなる学問なんだってことを、
なんか、
ほう。
伝えたいなと思ったりとかですね。
なるほどね。
まあ、でも、とはいえ、
簡単な例というか、
例?
限りなくとか、
曖昧にしてきた、
小学校、中学校、高校の数学について、
少し話そうと思ってます。
なに?
まだね、
エプシロンデルタ論法と限りなくしか
キーワード出てないですよ。
はい。とりあえず、あの、
限りなくのイメージを持つためにですね。
限りなく。
まあ、なんか、ちょっと曖昧そうな話をすると、
小学校、5年生かな、
うん。
円の面積って習えますよね。
小5なんだ。
半径×半径×円周率ってやつです。
うん。
パイアール事情。
パイアール事情っていうのは中学校からかな。
はい。
まあ、でも、半径×半径×円周率。
うん。
これ、どうやって習ったかって覚えてる人いますか?
ああ。
どうやって習ったか。
半径×半径×円周率。
覚えてないね。
これ、みんな、
結構覚えてないと思うんですが、
うん。
それも曖昧にごまかされてるの。
これをですね、
どうやったかっていうと、
うん。
円をピザみたいに切っていくんですよ。
ああ、その図はなんか、
覚えてる。
で、めっちゃちっちゃいピザの一枚みたいにしたのを、
一枚を
めちゃめちゃ細かくしていくんだよね。
そうそうそうそうそう。
で、それ開くと、
はいはい。
なんか、長方形っぽくねって言われるんですよ。
小学校5年生の。
開くと。
円を、例えば、8等分するじゃないですか。
うん。
ピザみたいに。
で、1枚のピザを、
1切れのピザを、
1切れね、8分の1ね。
8分の1ぐらいのやつを、
ピザのあの、持ち手の方って言うとわかるかな。
うんうん。持ち手。
円をこう、めっちゃピザみたいに
めっちゃ小さくして、
持ち手が上下、上下でこう。
うんうん。
ピザの向きをね、上下上下逆にして並べる。
はい。長方形っぽくなります。
なるね。
で、長方形の縦は、
その、要は半径ですよね。
うんうん。
ピザのその。
ピザの円時代の半径だよね。
はい。で、横がどうなるかって言うと、
06:01
うん。
横を足すと、半円に、
円周の半分になるのは、
なんとなくわかりますね。
うん。だから、上と下合わせたら、
まあ、1周分になるからね。
あ、そうそうそうそう。分配されていくので、半分になります。
半分だよね。
で、えっと、それが、その長方形における横になる。
縦掛けるこの横。横が、
半円の。
半円。
周の長さになるから。
円周の半分になるから、
円周っていうのは直径かける円周率。
うん。
これはもう習ったものとしたら、
半径かける円周率が、
その、
長方形の横になって、
縦が半径になるから、
半径かける半径かける円周率が、
なるほどね。
円の面積なんです。パチパチパチすごーいって。
やばい、ちょっと素直すぎて、
お、確かに長方形になる気がするって、
進めてしまった。
でもこれって、
本当って思うじゃん。
確かにね。
確かにね。
数学と算数って、
こういう本当って思う事象は、
結構隠れているんですよね。
なるほど。
これも厳密にやっていくと、
いろいろあると思うんですけど、
今のは、
要は、曖昧にしてきた算数って、
あるよねっていう例として、
話しました。
イプシロン・デルタ論法と、
直接関係はない。
で、ちょっと直接関係のある、
曖昧な話、次行きます。
2個目。
これも例ですね。
まだイプシロン・デルタ論法ではないですけど、
なるほど。
反比例って、小学校か中学校か、
方法で、
習いますね。
yイコールx分の1ってやつ。
あるね。
だんだんこう、
すごい小っちゃくなっていく、
やつですね。
これを、
横軸大きくしていくと、
プラスの方で大きくしていくと、
プラスの方で大きくしていくと、
限りなく、
0に近づくみたいな、
限りなく、
0に近づく。
限りなく。
限りなくってなんだ?
なるほど。
じゃあ、
限りなくシリーズで、
どこか、
何回か前にやった、
いくつかこの限りなくシリーズ、
見ていいですか?
大きくしたときの限りなくシリーズ。
だから別の例ですね。
三角関数っていう、
波。
どこかでやった気がする。
有数学でもやりましたけど。
数学だとでも、
高校生でやります。
プラス1とマイナス1を、
永遠に行き来をしていくような、
波みたいなやつですね。
波したやつ。
波したやつ、
X大きくすると、
あれって、
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限りなく大きくすると、
限りなく大きくすると、
めっちゃ周期的なやつですけど、
クルクルして。
周期的なやつなので、
何とも言えなそうですよね。
何にも近づかなそう。
では、
YイコールサインXというのを、
波だとすると、
グラフがパッと出ない人は、
波したものだと思う。
くねくねした、何か。
それに、X分の1をかけましょうか。
つまり、
波がだんだん小さくなっていく波ですね。
なるほど。
どっちが強いかみたいな話か。
そうすると、
これ、周期的なやつっていった、
限りなく大きくしても、
何なそうなやつと、
限りなく大きくしたらゼロになりそうなやつが、
合わさったら、
どうなるんだろうね。
確かに。だから、Xかけるって、
一瞬、
サインXのXのところにかけそうになったんだけど、
違います。
X分の1かけるサインXだよね。
そうです。
なるほど。
だんだん小さくなっていって、
何回やがてでなくなりそうだけど、
振動している波々ですね。
X分のサインXとも言えるか。
そうです。
X分のサインXとも言えます。
はい。
これ、高校では、
挟み打ちの原理とかですね。
何以上何以下とかで。
はい。ゼロになるんですとか、
ゼロに限りなくなるんですとか、
習うんですけど、
これもゼロに限りなく近づくやつ。
はい。
数学3で習うことを使うと、
ゼロに限りなく近くなると言います。
高校レベルまでのやつね。
全然覚えてない。
じゃあ、
ここから、
高校まででやらないような、
数式、例えばね、
Yイコール1。
ただし、
Xが無理数の時は1。
Xが有理数の時は、
有理数?
Yイコール2っていう、
とびとびのやつ。
とびとびのやつ。だけど、
無理数と無理数って、
すごい小さい世界でいうと、
行き来しているので、
グラフ的に見ると、
これってYイコール1の直線と、
つまり、
横の直線が、
2本あるような、
グラフになるんですね。
X軸入れると、
3本あるような、
グラフが続くんですよ。
横軸が3つあるような感じですね。
あれ、有理数の時は1?
有理数が、
どっちでもいいんだけど、
有理数は2。
無理数が1。
だから、X軸って言っているのを言うと、
Yイコール012の、
3本線みたいな。
そうです。
横棒が3本ある感じ。
そうです。
になるんだ。
これを、
Xを大きくしたら、
12:01
1なのかな?
そういうことね。
そうそう。
だから、さっきの有理数の時と無理数の時と、
2パターンあるんだけど、
Xを大きくした時に、
どっちに近づくも
クソもなくないですか?
って思いますけど。
って思うじゃないですか。
感覚は正しいんだけど、
この辺って、
数式的にはもはや曖昧なんですよ。
つまり、数式で計算では、
出せずに、
そういうことか。
さっきのハサミ打ちみたいな、
ポイのすらできないってこと?
ポイのすらできなくなるんですよね。
なるほど。
なので、
ちゃんと定義しなきゃいけないんですよ。
定義。
限りなくっていうものを
定義しなきゃいけません。
そういうことね。
さっきまでは、
何かの条件の限りなくどうした時の答えが
曖昧よって言ったけど、
そもそも限りなくっていう言葉を
明確にしようってことか。
そうですね。
なるほどね。
それがですね、
前置き長くなりましたが、
イプシロン・デルタ論法でありまして、
最初言ってたやつ。
ギリシャ文字。
とりあえず定義を言いましょう。
定義はですね、
まず何かしら、
0以上のイプシロンっていうものを、
何でもいいから1個決めてください。
まず決めます。
0以上は。
その時に、デルタというものが
存在すると、
その値に収束するって
言いますと。
もう一回いい?
じゃあ、あえて普通に
じゃあ、
2の0以上のイプシロンというものに対して、
デルタというものが
存在します。
そのデルタっていうのがどういう条件かというと、
絶対値の
fx-
収束する値の
aの絶対値が、
デルタ
以下であるような
デルタが存在するということを
示すと、収束すると
言うんです。はい、もう意味が分かりませんね。
意味は全然分からない。
意味が分からないと思います。
これもう、
数学家になるとこれを式で書かれて
永遠と話が進んでいくんですけど、
何言ってるかよく分からないと思いますので、
ちょっと具体例で
話をしていこうと思います。
感覚をつかむようなためにね。
これはですね、
イプシロンさんとデルタさんが
バトルをする物語でございます。
なるほど。
ユトさんが
デルタさんになって、
私イプシロンさんになります。
まずこのゲームはですね、
イプシロンさんが先行です。
必ず先に
出します。
デルタさんの方が結構有利です、実は。
それにカウンターができます。
なるほど、それを見た上でね。
例えば、
簡単なやつで言うと、
15:01
yイコールx分の1
っていうさっきの
反比例のグラフで
行った時に、
イプシロンを
例えば0.1
って行ったとするじゃないですか。
私が0.1って言うんです。
急にね、0.1って言うのね。
俺は0.1だと。
俺は0.1だっていうのをイプシロンが言います。
で、その時に
バトルなんですが、
デルタさんは
何を言えばいいかっていうと、
とある値を見つけた
もん勝ちです。
それはxの値、横軸の
値で大きな値を
見つければいいんですけど、
横軸の値で大きな値。
そう、大きな値を見つけるんだけど、
何を言えばいいかっていうと、
限りなくお聞きしたら
0になるって言いたい場合は、
ユトさんが言う
デルタの値あるじゃないですか。
例えば、
何か言うんだよね、これから。
1万とかって
言ったとするじゃん。
ユトさんが。デルタは1万って言ったとするじゃん。
何で1万を言うのか分かんないけど、
とりあえず言ったとする。
そうすると、
1万を入れたときの
グラフの
xに入れた値は
1万分の1だから、
0.1よりは少なくとも小さいよね。
エプシロンで
言ったしみさまのが0.1だっけ。
そう。
デルタで1万。
1万分の1。
勝負と。もっと小さい値を
述べましたと。
これが1万を言うと、
今度1万以上の全ての
xに対して
0.1よりも小さく
なり続けられる数字をあげたら、
デルタの勝ちなのね。
つまり、
今1万って言ったけど、1万500だろうと
2万だろうと1億だろうと
0.1よりは小さいじゃないですか。
実際小さいね。
実際小さいですよね。
それを言うと、今の勝負は
デルタの勝ちなのね。
はい。
エプシロンさんは、
この数を何でも言えるから、
それだったら、
じゃあ、0.0000001だみたいな。
はい。
めっちゃ小さく言うと。
でも、今の
x分の1の世界で言うと、
先行が
言うやつよりも小さな値って
常に言えるよね。
もう一桁ぐらい0追加すればいいよね。
そうそう。
で、そういう時に
その関数は
今だと0に
収束をするって言います。
収束するが近づくみたいなね。
はい。なので、限りなく
っていうことは、今言った
数式がどんな
エプシロンに対しても
必ず
それよりも先の
xにおいて、エプシロンよりも
小さなデルタが存在することを
18:01
証明すると
収束するって言えるんですよ。
なるほど。
これがエプシロンデルタ論法
っていうやつです。
なるほどね。デルタが
ちゃんと勝てるよって
言うか言えないかみたいな
話か。話?
そうなんです。
お試し版はここまで。
これからもこのラジオを応援したい。
または週1で
コンスタントに上げてよってね
思う方はぜひ
ご購入いただけると嬉しいです。
概要欄にご購入リンクを
貼っておきますので
ぜひチェックしてみてください。
この
有料的なものを
初めて試すところに
お支払いいただいた方は
必ず
必ず何か
この配信が
届くだけじゃない
何かね、いいこと
って言うと何か分かりませんが
ご用意していこうかなと思うので
ぜひぜひご検討お願いします。
というかね、絶対忘れないです。
ということで、ではでは
さよなら。
