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はい、こんにちは。 えっと、今日も解析学の話をしていこうかなと思います。
えっとですね、これ何でかっていうと、前回もチラッと頭の中を整理して話すみたいな話をしたんですけど、
結構前ににんじんくんに、大学の授業を自分で喋ってみたら脳内が整理できていいんじゃないみたいな、
それをポッドキャストで流すと面白そうみたいなことをサラッと言われて、
にんじんくんは覚えてないと思うんですけど、それが結構印象に残ってて。
そう、なんで、こういう風にね、ちょっと機会があったら、
昨日の夜、勉強してたやつを一眠りして、次の日にですね、こうやって言語化して、
脳への定着をちょっと狙ってみようかなと思って話す感じです。
で、前回確か関数の微分まで話したんですけど、関数の微分ができると、微分って結局その、
なんて言うんでしょう、グラフの傾きを求めるみたいなやつがあるんですけども、
結局傾きを求めると、その傾きがゼロになるところで、
二次関数とかでグラフがガーッと上がっていって右肩上がりとかになってて、
ピューってゼロになってまた下がっていくみたいなところがあったりとかしたときに、
その傾きがゼロ、つまりX軸と平行になってるっていうのは、
つまり最大の時か最小の時かみたいな風になるんですよね。
極値って言うんですけども、なので同関数、一回微分して同関数を求めて、
その同関数がゼロになるところを求めれば、そのゼロになり得るべき値は極値の可能性がある。
極値の候補であるっていうことが分かるってことですね。
なんでかっていうと、難しい関数になってくると、
例えばちょっと右に上がって平になってまたちょっと右に上がるみたいな時があって、
っていうときは平のときはXと平行なんですよね。
なので同関数を使って微分で求めるとゼロになるんですけど、
ただそこは極値ではない。ただの踊り場みたいな感じなんですけども。
そういうこともあるんだけども、でも逆に言うと極値、極大と極小のときは必ず微分の値がゼロになる。
みたいなのがあるので、それが求められるよね。
最大のところが求められると何がいいかっていうと、
例えば僕らの売上げの公式、こういう関数で2次関数とかで1次関数とか何でもいいんですけども、
表せることが分かりましたってなったときに、
じゃあどうやったら一番最大の利益を上げられるのかみたいなのも最大値とかを求めれば分かるよねっていうのがあるんで、
関数を微分して微分がゼロになる値を求めればそれが極値の候補になりますっていうのがあります。
今言ったように極値の候補なだけなので、それが本当に最大とか最小であるのかっていうのが分からないので、
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単純な求め方としては、例えば極値の候補が1だとちょっと分かりにくいですね。
例えば極値の候補が3だったときに、同じように同関数に例えば2とか4とか入れてみて、
それがゼロよりも多いか少ないかを見れば上がってるか下がってるか分かるかみたいなのがあるんですけれども、
そんなことをするのだけではなくて、面白いんですけども、1回出した微分方程式をもう1回微分する。
2回微分。2回微分の解は階層の解ですね。階段の解なんですけども。
2回微分って言って、2回微分する1回微分で出てきた式をもう1回微分してあげて、
さっき1回目の微分でゼロになるよねって言ってた値を入れてあげるっていうのをやってあげると、
その答えがもしもプラスだったらそれは最小値、極小値か、極小値であり、それがマイナスだったら極大値である。
逆にそこがゼロになってしまったら極小値の判定ができないんですよね、正しく言うと。
どっちか分からないみたいな感じになっちゃうので、結局前後の符号変化を、前後のプラスとかマイナスとかの変化を見るしかないみたいな感じになってます。
ただ、分かりやすいやつだと大体、2回微分に導入すると分かるっていうのがあります。
2回微分に入れたときにプラスになると極小で、マイナスになると極大っていうのがちょっと分かりにくいので、覚えやすい覚え方としては、
プラスだからハッピーで、笑顔の口になるので、笑顔の口って下に膨らんでるじゃないですか。
だからグラフで言うと下に膨らんでるから最小値になるよっていう。
マイナスだと悲しい口で辺の字口になるんで、グラフ的には上に上がってるグラフになるんで、上に凸っていうやつですね。
上に凸のグラフになるんで、極大値になるよみたいなのを学んだ感じです。
グラフのカーブが上から上に凸から下に凸に変わるとか、下に凸から上に凸に変わるみたいな変換する点もあるんですよね。
その点のことも変極点って言うんですけども、それは今度はさっき求めた2階微分の、今度はそのxが0になるものがその変極点になるっていう感じですね。
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上がりますよ、ここからはもう上り調子になりますみたいなところを求めるときは2階微分をすると出せるみたいなのがあります。
っていうのをやったんですけど、これなんか微分をして、例えば人間が分かりやすく、じゃあこれxの値は3だね、3にすると0になるね、みたいなのが分かればいいんですけども、
もっと複雑な、因数分解とかでは解けない複雑な方程式っていうのを求めるときに使うのがニュートン法っていうのがあって、
これはその関数の微分分の元の関数、aっていうのがあったら、aの微分分の普通の関数の答えをそのaから引くみたいなのをやっていくっていうのがあります。
これをすると、そのaで出てきたやつをさらにもう1回同じことを繰り返すっていうのをどんどんどんどんやっていくと答えに近づくよみたいなっていうのがあるんですけども、
これは若干手で計算するのはもう人間では無理なのでコンピューターで計算させるみたいになっていくやつですね。
またちょっと違う形で、今度は微分じゃないんですけども、一時近似をもっと求めるやつでロピタルの定理っていうのがあった。
これちょっと面白くて、これは普通に2個の関数、関数割る関数の微分を求めなきゃいけないみたいなのをやろうとしたとき、
なんかゼロゼロになっちゃうみたいなときに使うやつなんで、ゼロ分のゼロになっちゃうみたいなやつがあるんですけども、
そういうときに微分分の微分にしても同じように求められるよっていうやつがロピタルの定理ってやつですね。
これ面白いのが微分分の微分にしてもゼロ分のゼロになっちゃうことがあって、
そういうときどうするんだろうと思ったら普通に、それもゼロ分のゼロなんだからもう1回微分をしろみたいな。
つまりゼロ分のゼロにならなくなるまで微分をするみたいなのを繰り返すのがあって、
分母は簡単になってくるんですけど、分子はすっごいクソややこしくなってくるんで、
これももう手で計算したくないなと思ったっていう感じです。
っていう感じで関数の微分ができると、2次関数とか3次関数、4次関数だけじゃなくて三角関数とかそういうのも含めて、
関数の微分ができるとそういう極大、極小が分かったり変換点が分かったりとかして便利だよねっていう。
人間が計算できないときはニュートン法を使ったりとか、あとはロピーターの定理を使ったり、
いろいろあるよっていうのを勉強しましたっていう話でした。
じゃ。
