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数学ナビゲーターしみと、数学ナビサレーターのゆとです。
よろしくお願いします。ゆる数学ラジオ。ゆる数学ラジオ始まりました。
始まりました。よろしくお願いします。
いやー、2回目の収録ですね。
収録自体はね、2回目で、結構前間が空いたね。
そうなんです。ご無沙汰しています。
第何話ですか、今日は。
一応、僕の死んだやつは1残してるんで、
配信自体は2回分なんだけど、番号は4になりますね。
じゃあ、第4回目ですね、今回は。よろしくお願いします。
お願いします。
今回はですね、魔法陣。
魔法陣。
魔法陣って知ってます?
魔法陣、魔法瓶じゃなくて、
魔法陣、魔法陣、ぐるぐる?魔法陣ぐるぐる?
魔法陣ぐるぐるですね。
それもなんだっけって感じなんだけど。
これなんかね、
例えば、2×2のマスがあったとするじゃないですか。
魔法陣?
魔法陣、2×2の魔法陣。
なんか、○×ゲームみたいな感じ?
そうそう、4マスあるじゃないですか。
2×2だとね。
ここに1、2、3、4の数字をどこかのマスに1個ずつ当てはめます。
4つのマスに4つの数字を入れる。
これを縦に足しても、横に足しても、斜めに足しても、
一緒な数字の並びを魔法陣って言います。
なんか意味があるんですか?
意味があるというよりかは、
数学の問題というか、学問分野があります。
学問分野?
でかいな。
これなんで学問分野みたいな言い方したかというと、
これ4×4とかにすると、
実は880通りの魔法陣があるんですって。
880通り、それが成り立つのがある。
めっちゃある感じになる。
4×4だから1から16までの数字を1つずつ当てはめる場合に、
かつ、ぐるぐる回してるやつとかダメね。
つまり、左から時計回りに1、2、3、4って数字だったとして、
それを1個回すと4、1、2、3になるけど、
それって一緒じゃんっていう。
あと、ひっくり返すのもダメ。
裏返し?
裏返し。
それも同じとみなす?
それも同じとみなす。
っていうのを見ても、4×4だと880通り。
で、5×5だとどれくらいあると思います?
どういう感じに増えていくの?めっちゃ増えていくのか?
今のが4×4で880。
03:02
分かんないです。どんくらい増えるんだろうね。
じゃあとりあえず、3倍くらい。
2500くらい。
適当。
2.7億通りくらいまで増えるんです。
なるほどね。
そこのタイミングで爆発的に増えるのか。
めっちゃ増えるんですよ。
へー。
っていうように、これ6時の時、
6×6の時には、確か未解決問題なんです。
計算できてないんですよ。
なるほど。
多分スーパーコンピューターとかが数えてるんだけど、答えが出てないらしくて、
なかなかこの増え方がどう増えるかとかっていうのが、
多分学問的に数学として出せないかなとかって。
へー。
僕が卒論でやってたの、こういうのに近くて。
そうなんだ。
どんどんどんどんそのマス目の数を増やした時に、
どう増えていくかっていうことの規則性を出すような卒論を書いたんですけど、
そういうのに近いやつですと。
これ法人ね。
はいはい。
一旦一応おさらいして、2×2レベルで。
おさらいを2×2でじゃあいきましょう。
じゃあ、皆さん聞いてる人も2×2のマス目を書いてみてください。
はいはいはい。
まあ書けない人は頭の中で。
書けない人は頭の中で。
で、もう4マスしかないんで、
じゃあ左上に1って入れてみてください。
そうすると縦に見てもいいんだけど、
1、2、3、4を足すって考えると、
一番小さい1が出てきたから、
じゃあ縦に見ようか。
じゃあ縦に見るとその下に入るのは絶対4だよね。
絶対4。
一番小さい数と一番大きい数じゃないと、
そもそも他の数字とかと比べても直感的に4だってわかるよね、たぶん。
わかるかな。
まあ4だとしますね、じゃあ。
そうすると縦に足したら5でいけそうじゃんみたいになりますと。
で、じゃあこれを横に足そうとすると、
もう4使っちゃったから2か3しかないんですよね。
そうするともう魔法陣にならないんですよ、2かける2ってどうやっても。
あ、そうなんだ。
そうなんだ。
2かける2は存在しません。
なるほどね、0個ってことか。
そうなんです。
じゃあ2かけ2は0個、4かける4は880、5かける5は2.7億ぐらい。
じゃあ3かけ3っていくつあるのっていう話を今日はしたいと思います。
あ、そうなんだ、そこの間部分なんだ。
3かけ3だけ飛ばしたもんね、話を。
06:01
飛ばした、そうなんです。
4かけ4が880通り。
そう。
5かけ5が2.7億通り。
そう。
じゃあ3かけ3って、でも9マスしかないから結構できそうじゃないですか。
ねえ、なんか今からじゃあ数えてみてくださいって言われたら数えられる気がしちゃうよね。
気がするよね。
でも880よりは少ないってこと?
そうだね。
頑張れば数えられる。
頑張れば数えられそうなんですが、これを考えていきますね。
いきましょう。
じゃあまず魔法陣って、これさっき僕2かけ2の時に1の次は4って言ったように
縦に足しても横に足しても斜めに足しても同じ数字ってなるってことは
その足した数字が合計いくつになればいいかっていうのは計算できるんですよ。
なるほど。先にそっちが定まるんだ。
そう。そっちから決めていくと分かりやすくて。
なるほど。3つだもんね。
9マスだよね。だから1たす2たす3たす4たす…たす9まで足すと
45。
全部出したら45なんだけど、9マスのうちの3マスを取るわけだよね。
縦でも横でも斜めでも。
3分の1ぐらいってこと?
3分の1をした15になります。
復習するとさっきの2かける2だと1たす2たす3たす4が10。
10を2で割るよね。縦も横も斜めも。
すると5だったからさっき1の次は4とかって話をしました。
だから最初にいくつになるように考えればいいかって出すと分かりやすいです。
今回の3かける3の場合はとにかく15に縦を足しても横を足しても斜めを足してもなります。
なるように考えていくって感じか。
そうです。
じゃあ次。
なるほどね。
次いくよ。
ど真ん中、本当の真ん中が。
真ん中めっちゃ出てくるもんね、いろんな計算で。
5であることを証明します。
5っていうのは中間ぐらいのやつ?
一番中間のやつであることを。
確かにオールマイティっぽいイメージが。
そうなんです。
これをやるときに頭で分かる人は頭でもいいし、目印つけたい人は各マスに1個ずつABCDEFGHIって書いておいてください。
縦足しますって言ったら縦のA足すD足すGですとかそうやって分かるようにしておくと聞きながら何言ってるのかなっていうのがより分かりやすいと思います。
09:10
ABCDEFGHIか。
そうです。
横に進めばいい?1,2,3みたいな。
左上から。
左上がA、右上がC。
A,B,C。
一番左の列の2番目がDにしよう。
その順番ね。
E,F。一番左下がG。一番右下がIになるようにします。
OKです。
じゃあ斜めそれぞれ足してみましょう。
だからこれで言うとA足すE足すIが。
左上から右下ね。
左上から右下。
右上から左下がC足すE足すG。
バッテン。
バッテン足しました。
これに真ん中の縦、つまりB足すE足すHを足してみます。
こうするとEがいっぱい塗られていて、他のところは一番上の横と一番下の横に1個ずつ塗られています。
ここから今言った一番上の横を引き算します。
A足すB足すC。
一番上の横を引き算。
引く。
マイナスカッコA足すB足すCカッコ閉じる。
AとBとCを足して符号逆転でも一緒だよね。
一緒一緒。
下も引きます。GとHとIも引きます。
そうするとこれ真ん中のEが3つ残るの分かります?
なるほどなるほど。
なんか昔のそういうの何て言うんだっけ。
そういうのうまく消してやる計算あるよね。
そういうようなことをしていくつかの足したやつが15になるから
そもそもA足すB足すCは15でっていうのがめっちゃ数式として出てきて
今なんかいい感じに消したってことか。ちょっと追いつけてないけど。
いい感じに消した。
これって要は斜めの×2つ足したら34ね。
縦に足したやつも15だから最初足し算した3つ足すと45足し算してます。
横に2列消したんだけどこれも15×15だから30引くと15が残ります。
だけど今数えてるやつでいうとEが3Eイコール15になる。
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だからAとかBとかCとかGとかはもう消えちゃったってことね。
消えたってことです。
その全部の足し算は15だから結局同じやつ。
3つ足すと同じやつだから消えて
たぶん聞いてる人も追いついてなくても今言いたいのはあれでしょ。
E真ん中だけ残ったって話か。
真ん中のEがつまり5だっていうことを真ん中以外を足して引いたってことですね。
だけど縦も横も斜めも全部足したら15だっていうことを最初に言ってると
とにかく真ん中が5だってことが言えました。
3Eイコール15になったからってことね。
そうです。
R3して。
なるほどこれで定まった。
1個数字が決まった。
これだから何通りあろうが5は絶対真ん中にあるっていう証明になったの?
そうです。
なるほどなるほど。
今何通りあるかの話はまだしてないけど
どういう答えでもこの3×3の場合はEが5だっていうことを
真ん中が絶対5だと。
そうです。
これはだからたぶんちょっと難しいところ5×5にしても
1個と真ん中はその数字の1は真ん中にたぶんなるってことね。
なるほど。
この今の位置とこの2つの縦横斜めがいくつになるかと。
確かに直感的でもそうだよね。
これイメージ枠じゃないですか。
オールマイティ選手だからやっぱ中間層がいそう。
イエスイエス。
でこれ次が数学っぽいことをしますね。
もうすでにめっちゃ数学だよ。
次は角Aで今回今のだとオセロの角AかCかGかIが
1じゃないことを証明します。
なるほど。1じゃない。
なるほどね。
でも直感的にちょっと分かるね。
1ってなんかすごい端っこだから。
そう1が端っこ入ると
そいつが角取るとなんか厄介ってオセロみたいだけど
直感的にそうだよね。
これを数学的に言いますと
よく数学でこういう何だろう
何々でないっていうことを証明したいときは
何々であるっていうことを仮定して
矛盾するよって言えればOKです。
なので今回ぐるぐる回してもひっくり返しても
同じものとして見るから
もうAを1と仮定しちゃえばいいんですね。
なるほど。
他の全部一緒ってこと。
だからAが1だとします。
そうすると
真ん中が5だから
右下が9かな。
1、5、6だから9ってことか。
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合計15だもんね。
合計15だから。
Iが9です。
Aが1でIが9と決まりました。
なるほど。
このときに
どこで見ようかな。
AからもIからも近いというか
間にあるCを着目しますね。
Cについて。
右上ね。
右上のCについていきますね。
まず
AたすBたすC
上の横ね。
が15ですよね。
合計ね。
なぜかって横たしてるから。
Aは1だから
つまり15イコール
1たすBたすCですね。
はい。
で、今回
Bって
いくつ以下だと思いますか?
言ってることわかるかな。
言ってることはわかるけど
パッと追いついてないよ。
AたすBたすCが15でしょ。
で、Aが1なんだよね。
で、BたすCが
1たすBたすCが15になって
ここまでで置いといて
Bがいくつ以下でしょう。
今の条件でBって
10以上になることはないよね。
1から9までしかないから。
9なこともないよね。
9使ってるもんね。
なので8以下なんですね。
なるほど。
そうすると1たすBたすCが
小なりイコール
つまり最大1たす8たすCになるんですよ。
それよりも絶対小さくなる。
はい。
そうすると1たすBたすCは15だから
Cは6以上になるんですよ。
オッケー?
オッケーオッケー。
俺追いついた。
これ皆さん数学好きな人は
ぜひ式で書いてほしいんですが
話をゆるっと聞いてる人も
Cが今6以上だってことが分かったと。
今ちょっとおさらいすると
最初に左上から右下に斜めやった分で
右下が9になってるんですよね。
これがキーだよね。
次の話。
これがキーです。
右上が6以上って分かっちゃった。
そう。
だからっていうとこでね。
面白いね。
どうぞ。
そうなんです。
今2つ出し方分かっちゃったんだけど
別の出し方でいくと
今度右側の縦で見ましょうか。
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CとFとIですね。
これって足したら当然15
かつIは9なので
15イコールCたすFたす9になるんですが
今度Fって一番ちっちゃくていくつなんだろう?
ってみると
Aが1だから
2以上だよね。
なので
これ大なりイコール2たすCたす9
Cたす2たす9か
CFIの順で言うとね。
右の上からの順ね。
これをCについて解くと
Cは4以下になるんですね。
結局4以下になるんだ。
これ計算すると。
でもさっきCは6以上って言ったのに
Cは4以下でないといけないってことは
矛盾したってこと?
矛盾したということ。
つまりそうすると
最初に仮定したことが間違っているので
角がAが1っていうことがありえないんですよ。
なるほどね。
よってもうAもCもGもIも1じゃないんですよ。
角は1ではないことを証明しました。
そうね。だから今やったのはそういうことか。
左上を決めて真ん中決まってから右下決まって
上の横と右の横でちょこまか計算したら
右上の定義が矛盾したみたいな。
そうです。
ってことね。
だから一旦入れてみたけどありえないよね。
そうです。
で、こうすると
全部の数字多分決まるんですよ。
もう決まっちゃうの?
もう一個数学しなきゃいけないんだけど
今の時点で
じゃあ1が入るのは角じゃないとこなので
BかDかFかHのどれかなんですけど
真ん中と角以外ね。
そうです。
どれでもいいのでじゃあBイコール1だとしちゃいましょう。
真ん中の上ね。
そうすると真ん中の下Hは9になる。
そうだね。1たす5たす9は15。
真ん中の縦ラインが1、5、9これは決まり。
で、残ってる数字が1とか5と9使ってるから
2、3、4、6、7、8が残ってます。
あと6個の数字入れるだけなんですね。
1、5、9以外ね。
そうです。
2、3、4、6、7、8。
この中でじゃあ一番上の横に見ましょうか。
そうすると今真ん中が1入ってるよね。
21:02
上の真ん中ね。
そう。
そうするとその左上と右上を足したらいくつになる?
14。
残った数で14を満たすのはないんですよ。
ないの?どういうこと?
ほぼない。
ほぼない。
6と8しかない。
なるほど。だから右上に入れるか左上に入れるかはあるけど
そう。
組み合わせが1個なんだ。
で、6と8のでもこのAとC順番ひっくり返しても
これ裏返してるだけなんだよね。
同じと扱うね。
縦のライン、真ん中の軸が合ってるからコマをくるくる回してるようなものです。
なのでもう左上が8、右上が6とします。
なるほど。
こうなったらもう決まってくるよね多分。
どこから見てもいいんだけど
斜めに見ようか。
左上から右下に見ますと
左上の数字が8、真ん中は5、だから右下は2。
なるほどね。だからこれ3×3だともう1個しかないってことか。
そうです。
ちょっと早とっちりしたけど。
なるほどね。どんどん決まってくるんだ。十字繋ぎに。
右上から左下にしていても
右上が6、真ん中が5、だから左下は4です。
なるほど。どんどん爪将棋みたいになってるよ。
左側の縦ラインとかに見ると
左上が8、左下が4だから3。
で、残ったとこは
何が余ってるか?7かなんか?
7が余ってます。なので7です。
この1通りになるっていうことの証明でございます。
だから2×2だと0で3×3で1通りで
次880で次2億なんだ。
そう。
極端だね。
数学っていうのは極端なんですよ。
すごいシンプルそうな簡単じゃんと思ったら
広げていくとめちゃくちゃ難しく
一気に増えたりするっていうのがあるよっていう話だったりとか
結構こういうゲームっぽいやつって
数学的にちゃんと言おうとすると
結構面白いんですよ。
こうだと仮定すると矛盾するよって言ってみたりとか
まず全部縦でも横でも縦でも15だっていうこととかを
一個言えると真ん中が決まるよとか
数学のゲームみたいなやつをちゃんと
誰に聞いても分かるように説明するのが数学であって
それができると面白いよねっていう話ですね。
24:03
なるほどなるほど
いやでもすごいね。
01880か。
一通りの証明よりもそっちが面白いっていうね。
一通りも、いや一通りもね今思えばだから
5を入れた時点で気づきたかったね。
そうかもしれないね。
今だから3箇所ぐらい決めていって
なるほど全部奪っていくんだって気づいてしまったから
遅かったなっていう。
真ん中が5だとするとね
15になる組み合わせって言うとこれとこれって決まっていくから
当てはめていったら分かるかもしれないね。
1だったら相方は9だし
2だったら相方は8だし
5が入ってるとしたらね。
そうそうそうそうなんです。
でも5時になると5時の一番真ん中の数が決まっても
5時っていうのは5×5
5×5。2.7億もあるんですよ。
2.7億か。好き。
なるほどね。
これが魔法陣でございます。
魔法陣って何なの?なんかネーミング
そういう誰かがつけたの?
誰かがつけたんじゃないかな。
魔法陣。
こういうのを魔法陣の問題とかって言うんです。
なるほど。一通りか。なかなかですね。
こんな風にゆる数学ラジオでは
なんか面白そうなゲームっぽいやつとか日常に隠れてる数学を
ゆるゆると話をしていくチャンネルでございます。
あとさっき言い逃したけど
言い逃したっていうか趣味言ってたけど
入り法的な概念はね
結構なんだろ。あれどこに並ぶ?高校?
高校。高校か。
じゃあ結構やってない人も多いかもね。
言い逃したっていうか言ってたのちょっとだけスルーした気がするんだけど
高校の時とかも入り法で
これで証明するんだみたいなさ
結構感動した記憶はあるものの
確かに活かせてるかと言われると
意外と盲点かもねって思って
その日常とか仕事とかって考えると
結構日常でもなんだろう
私新規事業屋さんをしていて
なんかPL
その何々日がいくらかかってとかって
こういろいろ計算していくエクセルとか作るんですけど
なんかこういっぱい変数があるんですよ
世の中その材料費が上がったらどうかとか
お店の人の時給が変わったらとかって
結構山のような変数の中でも
27:01
これはありえないよねみたいなものを
言うために一個あえて極端な数にしてみる
他の数どんだけ動かしても絶対利益が出ませんとか
ということを言うと
ここの数はこの範囲が妥当だから
一旦これで置くよみたいな話とかは
ビジネスで使ったりしますね
なるほど
ありえないことを証明しておくみたいな
なるほどね
いや面白いね
はいでは
終わりますか
この番組では皆様からの温かいお言葉
ご意見ご感想こんなテーマで話してほしいなど
いつでもお待ちしてますので
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ゆる数学ラジオでつぶやいてみてください
あとまだ用意してないんだけど
Googleホームお便りホームも用意しようかなと思うので
ちょっと公開されちゃいやよって方は
そちらからコメントいただけると嬉しいです
はい
お疲れした
違うか
てことで今回はそんな感じですかね
しみさま
はい
終わりますかね
終わりましょう
またぜひ応援メッセージ
お待ちしておりますのでよろしくお願いします
じゃあまた次回ということで
お疲れした
お疲れ様でした
