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はい、こんにちは、ヨシオリです。 今日も解析学の話をしようと思うんですが、
今日は、今日というか、昨日学んだのは、テイラーの定理というやつですね。
前回話したやつが、微文で、接点の傾きを求めるというやつだったんですけども、
接点の傾きの近所を求めるみたいな話だったんですけども、 それはそれぞれの点の話だったんですよね。
今回は、実際の線、多元グラフ曲線とかの近所を求めるっていうのをやりました。
そのために、テイラーの定理というのがあって、 その関数がfunction0っていうやつだったら、
function0の微文かけるxたす、 2の解乗のfunction0の2回微文したやつのxの2乗みたいなのをやっていくと、
まず1回微文すると、その点のところが求まって、 次に2の解乗分の2回微文して、xの2乗をかけてあげるみたいなのをやると、
次の曲線との近似が取れてみたいな感じで、 だんだん波に対して近い近似の線が作れるよっていうのがテイラーの定理ってやつですね。
そうするとある程度の幅、例えば-1から1みたいな幅の中で、 ぐにゃぐにゃしてる曲線に近い曲線を作れますっていうのがあります。
まず大前提としてなんでこんなことするのっていう話なんですけども、 複雑な関数の式になってくると、それで計算するのがすごい大変で、
このテイラー転換すると、さっき言ったように 主測円算に落とせるんですよね。
簡単な足し算、割り算、引き算、掛け算、割り算に落とせるので、 人間も計算しやすいし、コンピューターも計算しやすい。
実際にちょっとやってみるとルートが出てきたりとか、 分数の分数が出てきたりとかでちょっとややこしくはなるんですが、
とはいえ、例えばコサイン関数としてコサインの 0.01を計算しろみたいなこと言われても、人間にはちょっと難しいじゃないですか。
そういうのも結構比較的簡単に求められるっていうのがあります。
なんでそういうふうにやってくるんですけど、 そのテイラーの定理っていうのをやっていくと、
どんどん近似をとっているので、似た線を書くっていうやつで、 やろうと思えばどんどん点をとっていけるんですよ。
細かくできるんですけど、ある程度近似したらそこで終わりは、 あとは誤差はこのぐらいだよみたいなのを作りたいっていう、
その誤差のことを乗用項っていうんですけども、 その乗用項っていうのを最後にスパンと作れます。
乗用項を作るときに、一応乗用項の計算の方法もあるんですけども、
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何とかの解乗分の何とか乗みたいな話をしてた、 そのnのプラ1の同じようなものを作って、
Cっていう変数を与えてあげれば作れるんですけども、 そんなことをしないでもう何かランダウンの記号っていうのが作られていて、
小さいOって書くときですね。
小さいOって書いて、その括弧の中に例えばXから0ってやると、 こっから先はもう何か誤差なので、
気にしなくていいよっていう記号があるっていう感じですね。
だいぶ微分ってどんどん計算していくと0に近づいていくんで、 0に近いからもうここは無視していいよこれ以降はっていう。
っていうのが表せるのがO括弧何とかのn乗みたいな感じで、 ランダウンの記号みたいなことを言われています。
それを使うとある程度近似した式が出して、 簡単にいろんなものが出せる。
それこそちょっと調べたら、アインシュタインとかも 惑星間の何とかみたいなのを調べるときにも、
実際で計算するとすごい大変なので、テイラー展開して、 簡単な式に落とし込んでから計算するみたいなのをやってたみたいで、
そのコンピューターが生まれる前からも結構、 計算を簡単にするように使われていたり。
特にコンピューターはさらに試測演算の方が爆速なので、 コンピューターの中ではむちゃくちゃ使われているみたいなのが、
このテイラー定理というやつでした。
その辺で、いろいろ残禁展開とかいろいろ言われるんですけれども、
前回言ってたロピタルの定理みたいなやつで、 0分の0を見たいな形が決まってない極限、不定型の極限を解くというときに、
ロピタルの定理みたいなので、分子と分母両方微分してみたいなのがあるんですけど、
これ0分の0になったらもう1回微分してみたいな話をしてたと思うんですけど、
微分するたびに式がめっちゃ複雑になっちゃうので大変だねというときとかも、
残禁展開、テイラー展開をしてあげると、 簡単にただのxの足し算とかに落とせるので楽だよねというのがあります。
今回学んだのは、重要なことは曲線とかの近似としてテイラー定理というのがあり、
それは計算を簡単にするために使うよというやつですね。
テイラー定理の公式があるので、それ使って何項何乗までやるのかみたいなのは、
実際に解きたいやつのxが何乗まであるかみたいなのを見て、そこと同じにしておいて、
あとはもう誤差なんで、大括弧何乗みたいな感じにして、
ランダムの記号を最後に足すランダムの記号みたいにしてあげて終わるっていう話でした。
はい、まあ難しいしね解析学。
引き続き頑張っていこうと思います。
