媒介変数表示と曲線の面積
みなさん、こんにちは。この番組は受験生であるかえるちゃんが勉強したことを自分の言葉でアウトプットするためのボッドキャストです。
本日お話しする内容は、数学さんの媒介変数で表された曲線の面積の求め方。
これは積分ですね。数学さんなので、理系で最後まで数学やったよって方じゃないとやってないかもしれないんですけど、今日はその話をしていきたいと思います。
媒介変数って何?っていう話からするんですけど、
普通の関数は y イコールなんとか x サイン x みたいな2つの文字があって、
1つの文字が変わったらもう1つの文字が決まります。
媒介変数表示っていうのは x イコールなんとか t 足すなんとか t y イコールなんとか t 引くなんとか t みたいな
x と y がそれぞれ別の文字で表されているっていう関数です。
これが厄介で、微分しようとか積分しようとか、その他関数の問題を解こうってなると、
x y にまとまってないとやりにくいので厄介なんです。
今回はその積分をして面積を求める方法を話していきたいと思います。
まず普通に y イコール、
通常の積分はインテグラルで範囲が b だとしたら a から b の x の関数があって、
置換積分でdxを変換する
最後に dx がくるんですよ。
でこれは媒介変数の曲線を考えるときも同じで、
まず y イコールで表されたものを中身において横に dx を置く。
そうすると
y の関数を x で微分しますっていうのになってるんですけど、
このままだと y の関数 θ で表されていて、
x で積分できないので、ここで置換積分を使います。
今回じゃあ例として曲線 c が x イコール ft、 y イコール gt。
で範囲がαからβまで。
これ t で表した時にαからβまでっていう範囲だったとします。
まず今ここでインテグラル a から b。
a から b っていうのはこれは x の値ですね。
x の値が a から b。
y の dx ってなってます。
それをここから置換するんですけど、
置換する時に y の横に dx dt を置いて、
さらにその横に dt を置く。
そうすると分数みたいだって考えたら dt が約分されて、
元の y かける dx っていうものが出てくるはずです。
面積の公式と積分区間
これで綺麗に消えて、
いい感じに置換できたねって話なんですけど、
置換したら今これ dt で積分してるので、
区間を t で表さなきゃいけない。
なのでここは a から b からαからβに変えます。
dx dt の意味なんですけど、
やっとこれ最近わかってきたんですけど、
x イコール ft という関数を t で積分するっていう意味ですね。
ここだと f' t になるわけです。
この辺の dy dx とか d dx とか難しいんですけど、
分子の x とか y とかある、
それで表された関数を分母、今だったら t の文字で積分します。
みたいなことを表している。
正確な説明ではないかもしれないんですけど、
っていう意味だと理解しています。
そうすると最後に残る公式が
インテグラルのαβ gt の f' t の dt。
これを t で普通に積分して、
最後 α と β を入れれば面積が求められます。
これで倍解変数で表された曲線、
今だったら x イコール ft、
y イコール gt とおきましたけど、
の面積が求められます。
解答時の注意点
これを公式を見ずに問題を解けるようになりたいので、
ちゃんと覚えようと思います。
今回この問題解いたんですけど、
積分区間を置換し忘れて間違えたので、
皆さん気をつけてください。
それでは本日はここまでにします。
ありがとうございました。
