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数学ナビゲーターしみと、数学ナビサレーターのゆとです。
ゆる数学ラジオ始まりました。始まりました。今日もよろしくお願いします。
さて、前回から同じ形、同層、同層トポロジー、トポロジー知ってると本質わかる。
図形の本質がわかっちゃうよってやつね。まだ全然わかってないですが。
これについて、前回はそういうイメージの話でしたので、ちょっと具体的な問題を使いながら。
具体例ね。
ドーナッツというよりかは、図形を、前回のだけ聞いてると言えば穴の数で分類するよってだけ。
穴の数で分類する学問なんだなみたいな。
感じになったと思うんですけど、近いっちゃ近いんですけど、要は図形をシンプルに見るっていうのがどういうことなのかを。
シンプルとは。
シンプルとは何かをちょっと具体的な問題でいければと思ってます。
今日はグッとまたトポロジーがわかる?わかる?どんな感じですか?
えっとね。
今日やると。
そうなんだろうな。トポロジーがって言っていいのかな。
シンプル化ってこういうこと?みたいな。
そうそう、そういう感じになる。
面白そう。
トポロジーっていうのが大きなテーマだとすると、その中の一つにグラフ理論っていう単元があって、その中の話をするみたいな感じ。
なるほど。
なので、でもシンプル化ってどういうことっていうのがよくわかります。
楽しみ。
計算をしない、数式を使わない数学っていうののイメージも多分わかると思います。
面白そうじゃないですか。
じゃあ行ってみましょうか。
はい、行きましょう。お願いします。
えっとですね、これは多分本当にある橋で、
本当にある橋。
ケイニヒス・ベルクの橋問題と言われておりましてですね、これ何かというと、ちょっと皆さんも頭の中でイメージして欲しいんですけど、
川みたいなのがありますと、川が、自分が手前にいて奥に、奥の陸に行きたいんですけど、間には川が通ってます。
川をですね、じゃあ私手前の陸にいます。
手前の陸。
川が、目の前川があります。
左右川が流れてるってね。
川が流れてます。で、向こう側に陸があります。
で、えっとここに渡るためにですね、人々は真ん中にですね、ちっちゃな島を、
真ん中?
川の、川の、川に、川の上に何か2つちっちゃな島を作りました。
川の上に。
そう、川の上に。で、左側の島には、
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左右なんだ。
左右あります。
自分から見て、左右に島があって、その先に行きたい陸があります。
で、左側の島には橋が2本かかってます。
島に2本橋。
はい、島に対して、その陸地から島に行くための橋が2つあります。
で、左側の島から向こうの陸地に行くためにも橋が2本かかってます。
で、右側の島に陸地からは1本ずつ橋がかかってます。
で、島と島の間を結ぶ橋が1本かかってます。
左側の島と右側の島を渡れる橋が。
つまり、陸地があって川が流れてる中で2つ島がある設定において橋が、
左側が手前から2本。
手前から島に2本。島から奥にまた2本。
2本。で、島と島の間で1本。
左側の島からしたら5本橋があります。
左側の島目線だとね、5本あるね。
そうです。
右側の島目線だと、
しみがわ陸から島と島から向こう岸まで1本。
で、間つながってるのはもうカウントしてるけど、
右島から言ったら3本橋がありますが、
合計7本の橋がかかっているイメージがついたでしょうか。
はい、追いついてます。
では、問題です。
何の問題が出るか想像つかないのが面白いね。
橋を2回通らずに全ての経路を通ることができるか。
つまり、一筆書きができるかっていう問題です。
だから、例えばね、すんごいわかりやすく言うと、
左側の島から行くと、
しみがわ陸から左側の島に1本目の左側の橋で渡ります。
そのまま向こう岸まで行きます。
向こう岸から左島に向かって2本目の橋で帰ってきます。
しみ最初にいた陸に2本目の橋で帰ってきます。
で、今度は右側の島の橋から右側の島に行きます。
そのまま向こうの陸に行っちゃうと、
間をつなぐ橋だけ通れてないので、
あー、アウト。
これダメです。
じゃあ、いろんな通り方していいので、
一筆書きで全部の経路を通れますか?っていう。
なるほどか、わかんないけど、
そういうこと?って思ったのが、
なるほどね、それを1個1個頑張るんじゃなくて、
そうそうそうそう。
入り口出口みたいな、その本数とかから計算できちゃうみたいな、
もう天才ですか、天才ですか、ということです。
なるほどね、でも問題は全然わかんないよね、
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これ本当に行けるのか行けないのか。
これだけ直感だとパッとわかんないし、
行けなそうだなっていう雰囲気?
そう、行けなそうだことしかわかんないし、
ちゃんと証明しようとすると、
ちょっと全パターン試しましたみたいに、
やんなきゃいけなそうじゃないですか。
いや、えげつない、やだ。
なんかよくある、やな問題ですね。
めんどくさそう。
なんですけど、この問題って多分ね、
土地っていうのかな、その陸地を、
陸地と橋の関係でしかないんですよ、本質は。
つまり、超縮めていくとどう考えられるかっていうと、
陸地を点とします。
橋を線で書きます。
島も含む。
島も含んで、
島側の陸も向こう側の陸も含めて、
それらが点。
全部で4個の点がある図形ですと、
イメージしてほしいのが。
手前と真ん中に2個と奥に1個。
橋を線でしようとすると、
島側陸、手前の陸から左の点に向けては、
2本線が流れていますと。
もう1個の右側の点には1本の線が流れています。
島側の陸からは3本の線が流れていますと。
左側の島から奥の陸にかけても、
2本線が流れていますと。
左側の島から右側の島に1本線が流れています。
島と島の橋ね。
右側の島から向こう側の陸に1本線が流れていますと。
この点と図形で書いたものを、
一筆書きできるかどうかという問題に言い換えられます。
なるほど。まずは図式化したというか。
はい。
これがだからこう数学とかで橋の長さとかさ、
角度とかもうどうでもいいねんと。
確かに確かに。
大事なのはこの点と線だけなんや。
なるほどね。点と線の関係性だと。
はい。そこまではだから柔らかく考えるとそういうことですねと。
面白いな。
面白いでしょ。
ここからどうやって解くかなんですけど、
例えばね、これ点に対して線が何本出てるかだけで全部解けます。
点に対して線が何本出てる?
その点に線が何本出てるかですね。
例えば2本出てるとすると、
来て出ていけばいい。
1回通る。
1回通ることができる。
4本だとすると、
来て出ていってまた別のところから来て出ていって押せばいいから2回通ればOKですね。
つまり偶数である限りは何回か通りますみたいな話でいいんです。
はいはいはい。
奇数になると何が起こるか。
なるほどね。
来て出ていくって考えるとそうじゃない場合っていうのは、
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一筆書きの最初か最後であることが必要です。
なるほど。
分かった。
確かに。始まりは1出しというか1本出し。
そうそうそうそう。
始まり行って途中で帰ってきて出ていってまた来て帰ってくれば5回通るよねみたいなことができるし、
最後も途中で来て出ていって途中で来て出ていって最後自分のところその点に帰ってくれば5回奇数になる。
でも、つまり奇数の点は2回しかないんですよ。
奇数の点は2回、2箇所。
2箇所しかそう選べないんですよ。
はいはい。
で、じゃあ今回ですね、4つの点が何本線が出ているかを見ていくとですね、
しみ側の岸から見ると、
左側の島に向かって2本と、
2本。
右側に向かって1本あるので3本あります。
もう奇数だね。
奇数ですね。
じゃあ向こう側の岸も一緒で3本ですね。
左側の島に2本と。
もうこれで、
奇数2個だ。
2個。
で、つまりまあでも普通に考えると最初手前の岸にいて最後向こうの岸に行くって考えればまあまあまあいいじゃないですか。
まだいけそう。
じゃあ左側の島見ると、
手前の岸に対して2本、奥の岸に対して2本の4本と右側に対して1本結んじゃったので、
これも奇数ですね。
これ全部奇数じゃん。
右側の島は向こうに1本、手前に1本、左にもう1個の島に1本で全部奇数なので、
ゆえに無理なんです。
なるほどね。
って証明できるんですよ。
なるほど。
だから全部のパターンを計算する必要はないんですよ。
はいはい。
この数学の問題において。
ルートの全部じゃなくてね、点ごとの線の数だけ数えればいい。
しかもそれの偶数と奇数を数えるだけで無理なことを証明したんですよ。
なるほど。その本数の具体的な本数というよりは偶数か奇数かだけ。
はい。
すげえなこれ。
これ結構すごいでしょ。
だってこれだけやるのだったら全然小学1、2年生ぐらいでもできちゃうもんね。
つまり中学入試とかでこういうのポンって出したらもう頭良い人だったら多分。
なるほど。
でもその解き方できたらすごいよ。
すごいけど。
でもそうやってること自体はそうなんだけど、
でもこういうのって実は大学の問題で習ったりするぐらいだから結構そうなんですよ。
面白い。
なんとなく計算しない数学っていう感じがわかってきたんじゃないかなと思うんですが、
はい。
もう一つ例言っちゃおうかなと思います。
言っちゃいましょう。2問目。
2問目。
結構観点が違うんですか?観点というか。
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全然違う問題いきます。
なるほど。
2問目いきます。
ドラクエ1、2でもいいな、3でもいいかもしれない。
まと円しかしてないんだよな。
まじか。ドラクエしたことない。
でもちょっとイメージを伝えるとね、ドラクエってマップがあって歩いていくゲームなんですけど、
歩いていく。
要はマップ上動いていくんですけど、一番東の方に行くと西から出てくるんですね。
一周した感じね。
一周した感じで、北にずっと行くと南から出てくるんですね。
9だ。
はい、問題です。
このドラゴンクエストの世界はどういう図形上に存在しているでしょうか?これが問題です。
9上で。
9上でファイナルアンサー。
お願いします。
ファイナルアンサー。
9上、9上。
とりあえずファイナルアンサーしといて。
9の仲間として考えてよろしいでしょうか?
と思いました。
はい。不正解でございます。
マジで?
マジです。マジなことを今からパッと伝えると。
9ってことは地球ですよね。地球イメージしてください。
地球で北に向かってずっと歩いていくじゃないですか。
ずっと行くじゃないですか。
どこにたどり着きますか?
北極。
北極にたどり着きますよね。
北極にたどり着いて、さらに北に行くと。
北から南に降りてくるね。
北から南に降りていきますよね。
南から登場はしないね。確かに。
北極に行っていきなり南極に現れる世界ではないんですよね。
確かに。
ないんですよ。
どんな世界なんだ?
9の世界じゃないんですよ。これって。
本当だ。
はい。実は。
見事に引っかかった。
世界地図とかで言うと、北に行くとあくまで上から、上の違う点から降りてくるんだよね。南下してくるっていうのが。
で、南も一緒だよね。南に行くと、どっか違うところから、今度は上に出てくる。北に北上してくるのが地球の。
左右だけ正しかったんだ。9と共通点。
そう。なので、まずじゃあ、上の話からしようかな。
上の話からすると、北まで行って南から出てくる世界っていうのは、北と南がくっついてるんですよ。だから。
そうね。そういうことになるよね。
なんか横を無視すると、こうなんか円柱みたいになってる。今。
円柱?
円になってる。円というか、地図が平面の地図あるじゃないですか。
うん。
平面の地図をあったら、一番上と一番下をくっつけて、乗りでくっつけてください。
あ、でもだから、それが答えだよね。あの、まあ左右置いといちゃうけど。
そう。まず一つはそれが答え。
平面の世界地図をくるっとロール型にした縦に。
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そうです。そうです。
これが、まず、北と南がつながってる世界線なんです。
で、今度、西と東が一番東に行ったら西から出てくる。西に行ったら東から出てくるっていうのは、これは一番右と一番左がくっつけばいいですね。その。
なので、ロールになったやつをくっつけると。
あ、ドーナッツみたいな形になった。
ドーナッツになるんですよ。
なるほど。
そうです。
ドラクエはドーナッツだったんだ。
ドラクエはトポロジーで、そう、ドーナッツ型の穴が一つ開いてる世界なんですよ。
なるほど。
これ結構面白くない?
めっちゃ面白い。普通に引っかかった。
これを分かってプレイしてる人はいないんですけれども、いないんですけど、でも、そう、実は、この辺からね、ちょっとガチな話に行くんだけど。
つまり、ドラクエの世界っていうのは真ん中に巨大な穴が開いてるんですよ。巨大か小さいか分かんないけど、穴が開いてるんですよ。
穴の大きさは置いといて、穴があると。
穴が開いてる世界に生きてることに、普通にあの平面上に生きていたらたぶん気づかないと思うんですよ。
うん、気づかないね。
気づかなそうじゃないですか。
地球って昔どういう形だって言われてたかというと。
平面、丸くもないというか。
そうそう、平面だと言われていて、果てがあって果てまで行くとなんか滝みたいなので落ちるみたいななんか。
そういう世界、崖があるみたいな、そういう世界をこうイメージしていたものが。
これが、Qだって本当に分かったのはいつだと思います?
全然分かんない。
本当に分かったの?
本当に分かった。
でもこれ天動説、地動説と言われて、天動説、地動説って言うときはQだと思ってたのか。Qが回ってると思ってたのか。
でもこれはもう意図したいことで言っちゃうとですね、これたぶん人間が宇宙に行った瞬間だと思います。
マジで見たとき。
はい。
確認したとき。
でないと、たぶん普通に人間歩いてて、飛行機とか乗って向かってるときにまさかQの表面上を動いているとはたぶん誰も感じないと思うんですよ。
そうね、確かに。
で、世界一周しようって言ってたマゼランとかもまさか戻ってくるとは思ってなかったんじゃないかなとか思うと、
たぶん実際にわかるのってそのものをもう一個上の次元から俯瞰してみたときなんですよ。
なるほどね。
はい、ちょっと次回のつなぎになるような話ですね、これは。
宇宙の形を考えるときの不責になる話だと思って。
なるほどね、今の話でいくと宇宙の形じゃなくて、地球から一概念一概念上というか一次元上みたいな宇宙に行ったときに。
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地球の形がわかる。
そう、だけど地球上に存在していると平面に感じるはずなんですよ、世の中のことを。
そうね、感じてます。
で、ドラクエの世界で考えると、ドラクエの世界にいるときは左右しかない二次元の座標にいる感じなんですよ。
だけど実際はドーナッツの世界にいるんですよ。
なるほどね。
人間も上もあるから三次元空間にいるように見えて、実はQの中の表面にいるっていう感じなんだよね。
というように宇宙ってどういう形してるんだろうとかも今みたいにあっていうのをドラクエの話をしてわかるようにトポロジーって概念を知ってると分類できそうな感じちょっとしません?
ドーナッツっぽいなとか地球っぽいなとか。
なるほどね、まんまにはまったけど確かにそんな気はしてきた。
はい、そんな気をですね、次回クリアには多分ならないんだけど宇宙ってどんな感じなんだろうねみたいなのを少し考えていければと思っており、
今回はちょっとイメージついた、この計算しない柔らかい数学であるトポロジー。
そうね、計算しない柔らかいとかいう名前だけどめっちゃ難しそうだなって感じてきてはいますけど面白いね。
これね、ガチで専門にしたら相当難しそうだなっていう。
習う側はね、結構楽しいんだけど多分これ研究する人で01で解き明かす人はマジですごいと思う。本当にすごいと思う。
そんな感じをね、もう受けました。でも面白いね。
はい、これがでもトポロジーのちょっとなんか具体例っていう感じですね。
はい、ありがとうございます。
締めますか。終わりです。
この番組では皆様からの温かいお声をお待ちしております。こんなテーマで話してほしいなどなどお声をお待ちしております。
あとはApple Podcasts Spotifyの星5ポチッとのレビューもね、大変励みになれますのでぜひどうかお願いします。
お願いします。
ということで終わりますかしみさま。
はい。
今日も会長でしたね。
いやいや、でもトポロジー、なんかこう、はい、ビジネスマン的に一言を述べるとですね、結構仕事をしているとですね、なんかもういろんなものが絡み合いすぎて複雑でですね、何をしたら業績が伸びるんだと思ってこうやけ酒とかを飲むときにですね、
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数学を習っていた私としてはですね、なんかこの点と線にするような感じのこの点って何で考えたらいいんだろうとか、そういうすごいなんかKPIを見つけるみたいなのに近いのかもしれないんですけど、
KPI。
ちょっとビジネスっぽく言うとね、キーポイントインディケーター、つまりは何をこうね、に注目をしてどこを頑張るとその問題が解ける、仕事で言えばそれはお客さんからの評価が上がって売り上げが上がって利益が上がることだと思うんですけど、
何に注目したらいいかなとかをちょっとこう柔らかい頭でモデルで考えようっていう何かヒントになったら嬉しいなって、私と同じぐらいのビジネスマンの人たちが聞いてる感じで言うと、なんかこうちょっと柔らかくなった感じがして、この後ちょっと思いついちゃったとかあったら、はい、缶無料でございます。
いつも学生向けの受験話を小話にしてるので、ちょっと今日はビジネスマンこそ知って欲しい、聞いて欲しいなっていう話で締めたいと思います。
ありがとうございます。
ありがとうございました。
ということで、今度こそ終わりますか。
終わりましょう。
最後までお聞きくださりありがとうございました。
ありがとうございました。
ではでは、さよなら。
さよなら。
