00:05
数学ナビゲーターしみと、数学ナビサレーターのゆとです。
ゆる数学ラジオ始まりました。
始まりました。よろしくお願いします。
よろしくお願いします。
久々の収録ではないのかな?
割と最近?
割と最近、ベクトルのやつを撮りましたね。
そうだ、数の話を何回かやって、数の話、ベクトルやって、
今日は一体何系のお話なんですか?
今日はですね、確率系のお話です。
前回ちょうど言った、私が結構苦手だよっていう。
直感的にはわからない確率を今日は持ってきました。
なるほど、そもそもそういうことか、第一印象なんだろうな。
間違えるというか、よくわかんないみたいな。
よくわかんない、パロンドのパラドックスと言われている問題なんですが、
パロンドのパラドックスですね、パとドがよく出てきますね。
パランド?
パロンド、パロンド、パロンド。
パロンドのパラドックスね。
はい。
この方、1964年生まれの物理学者でございまして、
そういうことか。
物理系のゆとさんなら、
この方、パロンドさんなんだ。
そうそう。
そこは人ね、OKです。
もしかしたらゆとさん知ってるかもしれないですね。
全然知らないですね。
でも最近のネタということは、
逆に言うと、最近までわからなかったぐらい直感に反する問題ですね。
なるほど、面白いね。
じゃあ、さっそくいきますね。
どういうものかっていうと、先にネタバラシしておきますね。
ネタバラシから。
先にネタバラシをすると、
フリーな2つのゲームを今から話します。
この2つのゲームを組み合わせた3つ目のゲーム、
なんと有利になります。
なるほど、なるほど。
っていう話です。
直感で言うと、フリ×フリは有利みたいになっちゃうっていう謎だね。
謎でしょ。
マイナス×マイナスがプラスより謎だね。
そうなんです。
なるほど。
それぞれどういうゲームかっていくと、
1個目のゲームが、いびつなコインを投げます。
つまり、50%×50%じゃなくて、ちょっと確率が調整された、
偏っている。
イカサマコインがあります。
イカサマコイン。
これ投げると、48%で表が出ます。
ちょっと少ないのね。
で、表が出ると1ドル勝ちます。
で、52%で裏が出ます。
裏が出ると1ドル負けます。
そっか、どっちも1ね。
ユトさん、このゲームやりますか?
え、待って、待って。
03:01
ユトさんが表が出たら1ドルあげます。
私あげます。
裏が出たら1ドルください。
どっちかを選びましょうじゃなくてね。
選べないです。
俺は表にかけるか、やらないか。
やらないよね。
やらないですよね。
不利なゲームです。
50%未満ですからね。
これ一応期待値ってやつを計算すると
1ドル勝つ確率
プラス1かける48%で
100分の48
プラスマイナス1
マイナス1かける
100分の52
52%負けるので
を合わせると
1回につきマイナス0.04ドル
負けていくゲームです。
やればやるほど
長くやれば
多分負けるであろうゲームです。
これ1個目のゲームです。
不利そうですね。
微妙に不利っていう感じだね。
微妙に不利なゲーム。
じゃあ2個目のゲーム
いきます。
所持金が
基本的に1ドル単位で
動いていくものとします。
所持金が3の倍数ドルの時に
1%の確率で
1ドル差し上げます。
3の倍数でアホになるみたいな?
3の倍数は負けるって話ですね。
99%1ドルもらいます。
3の倍数ドルの時に。
つまり
分かりやすく
3ドル持ってたとします。
3の倍数だね。
そうすると
この3の倍数のルールが発動します。
そうすると
1%の確率で
4ドルになります。
99%の確率で
2ドルになります。
3の倍数の時だけ
何か動きというか
賭けというかが始まって
他の場合は別の条件があります。
今は3の倍数の話をしている。
3の倍数の時は
1%は1ドル勝ち。
99%は1ドル負け。
ほぼ3の倍数の時には負けると。
無理ゲーじゃん。
他の時は
85%1ドル差し上げます。
なるほど。3の倍数以外。
以外。1なので
3の倍数で
1、2、4、5、7、8みたいな。
そうそうそうそう。
その時85%プラス1ドル。
で、15%1ドルもらいます。
マイナス1ドル。
マイナス1ドルになります。
このゲーム有利そうですか?
不利そうですか?
直感の時点どっちか分からないけど
ちょっと有利そうな感じはするね。
2回勝って1回負けるからみたいな感じね。
じゃあもうこれ
大体勝てる負けるを
一旦勝つ負けるにしたとすると
0ドル最初は
0、1ドルだから始まると
06:00
1ドルの時は勝ちますね。
85%勝つか。2ドルになります。
勝つ方が確率が高い。
高い。で2ドルの時も
勝つ確率が高いから
勝つとしたら3ドルになります。
3ドルの時は負ける確率が高いから
多分2ドルになります。
2ドルになると勝つ確率が高いから
3ドルになります。
ずっと繰り返しになりそうだけど。
3と2で振動していくんだけれども
だけど3から上のステージの4に行ける確率は
1%しかありますよね。
だけど2ドルから1ドルに行く確率は
15%落ちますね。
つまり長い目で見ると
落ちていくゲームです。
上のフィールドにはいけずに
そうなんです。
昇格戦の3の倍数の時には
1%しか勝てずに
崩壊する試合の時は
15%負けるので
長くやっていくと
割と負けるゲームです。
で、これがBのゲームです。
今のところAのゲームも
Bのゲームも
あんま勝てそうじゃないね。
負け寄り
期待値ではマイナスというか
負け寄り
負け側になるやつってことだよね。
はい。
じゃあCのゲームは
これはちゃんとしたコイン投げます。
50%50%
Cっていうのが今から言うのが
A、B組み合わせるやつ?
そう。A、B組み合わせる新しいゲーム。
例の?
例の。
なんか勝てちゃうやつ。
そう。ネタを言うと勝てちゃうゲーム。
なるほど。
これが50%の確率でAのゲームをします。
50%の確率でBのゲームをします。
はいはいはい。
っていうCのゲームがあったとします。
うん。
なので表が出ると48%勝てて52%負ける。
裏が出ると3の倍数の時は大体負けて
他の倍数の時は大体勝てそうなゲームがある。
まあまあ勝てる。
まあまあ勝てるゲームがあると。
これを組み合わせた場合どんぐらい勝てそう?
本当に勝てそう?やっぱ負けそう?
どう思いますか?
いや、だって負けるやつと負けるやつで
50-50の確率でどっちかをやるでしょ?
負けるでしょ?
負けるよね。
負けると思うじゃないですか。
これがですね、パロンド先生は
実は勝てるということに気づいたんですね。
全然わかんないぞ。
で、これを直感じゃわかんないんですよ。
多分。
なので数学でやるしかありません。
もう信じられるのは数、数式だけです。
はい。
で、これまずCのゲームを出す前に
Bのゲームの期待値の計算の仕方を
学ぶ必要があります。
で、それを状態遷移図ってやつを書きます。
09:00
状態遷移図ね。
マルコフ連鎖とかとも言うのかな?
数学のよくたくさんやっていく確率が一定のゲームを
ずっと回していくときにどうなるかとかを出したりとか
確率全化式ってやつを出したりとかするときに
使う状態遷移図っていうのを書きます。
で、状態をBのやつが3の倍数かそうじゃないかで分けるので
3で割った余りで分配します。
プログラミングみたいだ。
プログラミングみたいなやつ。
余り1か余り2、全ての数は整数ならどれかになりますと。
全ての数を1,2,3,4ってたくさんあるけど
割る3でやったときの余りっていう分け方をするっていう
グルーピングをするみたいな感じだよね。
グルーピングをするって感じ。
で、そうするとAのゲームはどの状態もあんまり関係がないというか
0から1に増える、1から2に増える、2から0に
これ減ってるように見えるけど
2に1足されて余り0の0に戻っているので増えている。
これが48%になるので
0から1に行く確率が48%
1から2に行く確率が48%
2から0に行く確率が48%
なるほど。
ここまで大丈夫そうですかね。
余りで分類してその状態から状態に行く確率を出していくんですけど
この3の余りって所持金なので
勝ったら1ドル増えるとすると
余り0の人が勝ったら余り1ドルになる。
3ドル持ってた人が
3の倍数ね。
3の倍数だから余りは0ですね。
この人0です。
3の倍数で言うと0。
持ってる金額は3ドル。
この人がAのゲームで勝つと
4ドルになります。
3ドル持ってるから1ドル増えて4ドルになるよね正直。
4ドルっていうのは余りで言うと1ですよね。
3での余り。
いいんだけどちょっと混乱してきてて
今はCのゲームの話をしてる?
違う。
この状態遷移図を理解するためにまずAのゲームを
なるほど。
だからさっき戻ると
Bの期待値を考えるために状態遷移図の話を始めて
Aが簡単だからAで考えている。
だから混乱したんだ。
あれ?B?あれ?C?と思って
Aだ。
だからまずAの話。
Aはさっき簡単に期待値言ったけど
状態遷移図の形で考え直すってことね。
これ後で使うから1回考えます。
ゲームから復習していい?
俺どっから喋る?
表と裏があって
12:02
表が48%裏が52%
表が負け
表が勝ちか。
表が勝ち裏が負けだよね。
お願いします。
のゲームにおいて
所持金を3の倍数の余りを0、1、2で
3つの状態があると固定します。
そうだね。
Aもそういうことか。
だからAもBも関係ないこれは。
AとBもCも全部同じモデルで考える。
そうだよね。だから同じモデルで考えるってのが
多分入ってきてなくて
なるほど。
Aなのに3の割り算で割ったグルーピングで数を考えるってのが
多分飛んだんだと思う。
今追いついたんだけど。
じゃあBの場合
さっき言ったBの3の倍数のときは
1%で1ドル増える。
99%は1ドル負ける。
で、3の倍数じゃないときは
85%で1ドル増えて
15%で1ドル減るっていうのを考えたんですけど
Cのゲームも
このBのゲームが絡むので
今回はこのAもBもCもどのゲームも
3の倍数か
3の倍数で1余るか
3の倍数で2余るか
の3つのパターンに分けて考えることにします。
いいですね。
めっちゃ分かった気がする。
で、その中で
じゃあ考えやすいのはAのパターンなので
Aのパターンから復習していくと
48%で1ドル勝ちます。
52%で1ドル負けます。
ちょい負けゲームね。
ちょい負けゲームを
この状態遷移図っていう
その3の倍数での余りで分類していくと
余りが0の状態から
余りが1の状態にいくっていうのは
どんな状態だ?
例えば3の倍数で余りが0っていうのは
3ドル持ってた人が
余り1になるってことは
4ドルになるとき
勝つとき
勝ってるときですね。
なので0から1にいくのは48%
いきます。
今度じゃあ
0と1で言うと
余り1のときから余り0になるとき
例えば4ドル持ってた人が3ドルに減っちゃうよ
これが52%ですね。
1と2で考えても
4ドル持ってた人が今度5ドルになるのが
1から2になることなので
勝つ確率である48%が
1から2に余り2にいく。
余り2から余り1にいくのは
5ドルから4ドルに負けたパターン
なので52%で1に戻ります。
今度0と2
余りなしと余り2の動きで言うと
15:01
3ドル持っていた人が
2ドルに負けた方
これ負ける方なので52%で
0から2になります。
2だから5ドル持ってた人が
6ドルになるには
これ勝ってるから48%
余り2から0
余り2から余り0ですね。
これを0、1、2って3つの状態を書いて
それぞれ何パーセントで動くかっていうのを
矢印と数字でつないでいくものを
状態線図って言います。
この同じ図を
数字が変わるだけで0、1、2があって
0から1にいく矢印、1から0にいく矢印
1から2、2から1、0から2
2から0の矢印がある図が
Bで書いた時にどうなるかっていうと
どうなるかっていうとですね
これ3の倍数がかかるところからいきましょうか。
3の倍数の時だけめっちゃ負けるんだっけ
めっちゃ負ける。だから
0から1にいくっていうのは1%です。
0から1が
3の倍数の時に勝つ時か。
1%ね。
0から2に負ける確率が99%です。
で、えっと
今度じゃあ他
1から2、他から他ですね。
まあまあ勝つやつですね。
勝つ確率、1から2に増えるのが85%
2から1に負ける確率が15%
1から0に負けるのも
同じように15%負けます。
で、2から3に増える
2から0になる確率は
これも大体勝つから85%
で、これらを
これ絵にしてみると
どの状態に
水が溜まりそうというか、例えばこれ
お水を流していたとしてこの1%確率
99%の確率で水が動いていきまくって
循環していったとします。めっちゃ時間を
かけていくと大体0と1と2にいるのは
その期待値というかその確率を
表すものとします。
で、そうするとどの数字にいなそう
っていう感覚分かる?
どの数字にいなそう?でもそれは3の倍数で
勝つ時でいう
0から1の矢印の部分が
1にいなそうっていうことになるのかな?
つまり1にいなくて0と2にめっちゃ溜まるんですね
これ。
一応これを数式で計算しようとすると
0に来る場合
18:02
0にいる確率っていうのが
1にいる確率かける
15%だから100分の15
とプラス2にいる
85%勝つから100分の85
とかってやっていくと
一応こう連立方程式
溶けるんですよね。
0にいる確率と1にいる確率と2にいる確率
これで
他の場所にいることはありえないので
全部出したら1になります。
100%が1だからね確率では。
これをやると0にいる確率
長くやってた時これが43.6%
いるそうです。
半分弱0にいるんだ。
真ん中にいる確率1にいる確率は7.8%
ほとんどいません。
2にいる確率が49.2%
約半分くらいあります。
っていう風にすると
どの場所にいるかっていう確率が計算できて
その確率かける
勝つ確率負ける確率で
期待値を計算できるようになるんですね。
それを計算すると
0.0224ドル負ける
マイナスになります。
なのでBのゲームも負けることが
まず分かりました。
Aのゲームで書いた状態図と
Bのゲームで書いた状態図の確率が
半々で起こるから
情報を足して2で割った確率になります。
それぞれ動く確率が。
それでいいんだ。
直感的には確かにそうだけど。
そういう風に事象が起こります。
そうすると
0にいる確率が
35.4%
1にいる確率が22.7%
2にいる確率が
41.9%
っていう状態になるんですが
これで期待値を同じように計算すると
0.16362ドル
プラスになるんですよね。
不思議じゃないですか。
全然分かんない。
初めからプラスになると効いて始めてるけど
全然信じられません。
不思議なんです。
Uならば
Aのゲームって平凡
超シンプルな人
Bってすごいエッジが効いた人なんですよ。
長所な時には力を発揮する
21:00
短所な時には力を発揮しないみたいな感覚です。
そういう人たちを組み合わせると
実はプラスになるチームが作れますよ
っていうマネジメント理論の話で
ございます。
そんなのに使われるというか
言われる話なんだ。
これを挙げている元ネタを色々調べると
そういうことを言い表しているようにも見えるねって
ある人がコメントをしていたっていう
実際に
マネジメントの学者ではないですけど
でもそう言われていて
生物学とかでも
不利な条件
遺伝とか有性とか劣性とか
不利な条件を掛け合わせた時に
実はプラスになる
強くなっちゃうみたいな
結構世の中あるらしくて
皆さん直感で負けると思ったと思うんですけど
多くの場合は負けるんですよ
実は組み合わせても
つまり今回の
調合の仕方が超絶妙なんです
48%、52%を
50%、51%とかにしたらまた事象が変わる
かもしれないとかね
3の場合すると他のこの99%、1%っていうのを
もうちょっと確率変えると
実はもうどうやっても負けるゲームになるとか
そういうことがあってですね
プログラミングできる方はそれを色々数字を変えて
シミュレーションとかを回したりすると
ずっとやっていくと
勝ち負けみたいな分布をするようなことをすると
結構面白い学問とされてるんですが
今日は直感に反するものがあるよ
不思議だね
でもマネジメントとか生物とか世の中そうじゃね
っていう話を持ってきた感じですね
なるほどね
全然わかんないけど面白いね
全然わかんないよね
全然わかんない
機械的に計算したらそうなるんだっていう
でも本当にそれぞれの状態にいる確率と
それぞれで起こる
事象のバランスなので
本当にバランスなんだけど
でもこれって
わかんないよ
パチンコとかって例えばね
ゼロの状態が普通に
球を回してる状態だとして
1になると各変1みたいになって
2になると各変2みたいになって
また最初の状態に戻ってきて
期待値とかが変わるものがあったとするじゃないですか
それもうまく調整すると
24:00
今回は負けそうなゲームと
負けそうなゲームを組み合わせたら勝てるって話なんですけど
これ全部の確率ひっくり返したら逆になるので
勝てそうなゲームと勝てそうなゲームをやってるのに
実は負けるってなるじゃん
っていうのを例えば
パチンコとか作ってる人とかはもしかしたら
なんか各変起きたら勝ちそうじゃんみたいな
各変2が起きたらもっと勝ちそうじゃんとか思って
なんとなく見てるとしかも今日は大当たりの確率何%増しとかって
やってる時
勝てそうじゃんって思って回してると
実は勝てないようにできてるゲームがあるのかもしれない
なるほどね
全然知らんけど
でも直感的には今言った感じまさにな気がするね
だって機械的に多分
期待値出したらパチンコとかあってマイナスって
誰も知ってるというか
そうそう
いろいろあるか心理的なのとか
いろいろありますけど原因というか
楽しんじゃう要因
勝ちそう勝ちそう勝てないとか
トータルで見ると実はちょい負けぐらいに
落ち着くバランスみたいなのが
めっちゃ考えて設計されてそうだね
逆に大負けになりにくい設計にするとかも
こういう感覚でできる
負けすぎ負けすぎだとそれは
みんな来なくなっちゃいますもんね
この絶妙なバランスが大切なのかもしれない
そうなんです
私はマネジメントの話をしたかったんですけど
喋るタイミングを早すぎて
最後にいい話として
締めるのにしたいと思ったんですけど
これはそういう例えとしては
Bは特別な状態において
めちゃくちゃ成果を上げる人とかを
組み合わせると
実はチームの双方としても
勝てることがあるということなので
チームを作るマネージャーをしている人は
この人使えねーなーとか
そういう人を
チームの双方としても
この人使えねーなーとか
思わずにですね
いいチームを作ると人と人が組み合わせると
プラスになるということで
1たす1は2とかじゃなくてマイナスたすマイナスが
プラスになることがあると
そういう確率の問題でございました
質問じゃないけどそれで思い出した本があって
多様性の科学って
読んではない?
面白いですよ
今の話とは全然違うんだけど
27:01
チームが同じような人たちで集まると
1人1人の能力が高くても
いい成果はわからないというかむしろ失敗するよとか
全然違う
アメリカの話だから人種とかの話が多いんだけど
人種とか全然違う人たちが集まったほうが
いいよねっていうのを書いてる本がありまして
おすすめなのでぜひしみさまも
聞いてくださった方も
ぜひお読みください
あと聞きたかったんだけど
問題がパラドックスって言ってたじゃん
名前忘れちゃったけど
問題は1個普通に完全数の問題みたいに
さっきの例の問題が
どんとあって
これが本当に価値が優勢というか
価値寄りになるのかみたいな研究
研究としてはどんなものだったのかなって思って
研究としては
たぶんこの状態遷移図の
研究だと思ってて
Aが起こる状態遷移と
Bが起こる状態遷移組み合わせた時に
期待値マイナスになる状態遷移同士を
組み合わせるけどプラスになる状態遷移が
生まれるんですみたいな
シミュレーション的なんだと思う
この研究自体は
この確率を動かした時にどうなるかとか
もっと研究していくとこれが
そもそも状態遷移図として成立させていいものと
させちゃいけないものって確率にあって
突成っていうのかな
あるんですよね
さっきみたいな結構あるんですよ
今みたいに扱っていいかいけないか
このモデルが正しいかどうかっていうのが
まず研究あります
正しい状態においてどういう風にすると
今みたいに事象が起こるかっていうのを探す人もいます
これ状態遷移が今
3つのパターンで出してるけど
本当はもっと増えていったり複雑化していくはずで
世の中の事象を解き明かそうとすると
もっと複雑な事象で
遺伝の話を出してみたりとか
多分いろんなものを出せると思うんですよね
分類ができるものと確率論で出せるものを
永遠にやっていった時に
人間の血液型ってどういうバランスになるんだろうかとか
そういうのとかの研究とかにも多分使える
分かんないよ
A型を減らしたいとか
どういうバランスにするといいのかなとか
生物のことなんでいじれないことも多いと思うんですけど
いろいろ多分研究自体は
30:01
この状態遷移図形で書けるものの確率論が
確率モデルっていうのかな
名前ちょっと厳密に分かんないんですけど
こういう確率の分野がある
それは統計系のシミュレーションとすごくつながっていて
確率統計って言われるのでこの学問領域って
なるほどね
なんだろうね
そういう変なバグというかさ
こういう時にプラスになっちゃうみたいな
それ自体が結構面白いじゃん
それ自体が面白い
その条件を研究してる人は絶対いる
なるほどね
そういう
なるほど
どういう時にそうなるか
はいはいはい
でもこれとか例えばですよ
もうちょっと雑談だけど
私理学部数学科は出席を取らない
テスト一発勝負なんですよ
そういうところの確率統計の問題って
こういうのが3問ぐらいしか出ないんですよ
これっていくら授業でやってたとしてもですよ
計算ミスしてるかもしれないって疑うんですよ
マイナスになるゲームとマイナスになるゲームを組み合わせて
プラスになることを信じられる人がいるかみたいな
で大体授業でそうなることがありますと言わないわけですよね
なるほどね
普通にこの状態線図っていうのでやるわけですよ
状態線図の勉強というか単元としてやって
その異常なケースがテストで急に出て
いやー俺だったら絶対書き直しちゃうわ
やり直しちゃうわ
すげー間に合って
本当に自分の計算を信じてるものか
ものだったら解ける
それは絶対に計算間違うことはないって言って
解く人と結構それをこう
どっか間違えてるんじゃないかってやってるうちに
連立方程式の罠にはまっていって
どっかで数をずらしたら
やっぱりじゃんとか言って
間違った方向に進んで単位を落とす人もいる
なるほどね
数学科にいると本当の化け物はこの事象を知っていて
自らの趣味の領域で知っていて
テスト終わった時に
あれは何々のパラドックスだったよねとか言い始めるやつが
大体3人ぐらいいるっていうのが
数学科の
数学科向いてるのは
そうやって言える人になれると
数学科行った方がいいですし
私みたいに計算も信じられず
隣の子をチラッと見ようとするけどあんまり見えずに
しかもプラスって書いてあるか
マイナスって書いてあるかだけ見たいのにみたいな
そんな感じですね
最後のは冗談としても
数学科っていうのはこういう問題をですね
33:00
一発勝負で解けるか
日々研究することでそういう問題があることを
あらかじめ知っておく人が
それかスーパー計算能力を身につけて
それを信じ抜ける強靭なメンタルをつけるかが
数学科を卒業するためには必要なスキルでございます
なるほどね
いや面白かった
なんか調べようと思ったね
結構応用されやすそうなジャンルだなと思って
研究的に
これ自体の研究テーマかわかんないけど
その先というかね
ちょっとググってみます
結構面白い問題多分あるんじゃないかなと思いますし
比較的新しい分野なので
こういう分野やると論文書きやすかったりします
研究分野としての歴史が浅いから
まだこれやりたいけどやってないみたいな問題が
結構見つかりやすいタイプ
そうなんだ
多分
でもそうでしょ
いいじゃないですか
そうだと思うよこれ
だから確率統計って論文書きやすいんですよ
大数学とかもマジマジ
歴史がすごいからね
ピタゴラスとか
紀元前レベルからね
計算されて天才たちが大体のものを証明して
それをさらに発展させるっていうのは難しいんですが
確率統計学は割とコンピューターの発展とともに
統計ができるようになるとともに
できることが広がってるっていう
歴史的背景を踏まえても
割と新しい学問なので
なるほどね
おすすめです
面白かった
雑談です
ありがとうございました
ありがとうございます
ってことでそんな感じですかね
締めますか
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ありがとうございました
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