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タカタ先生の算数わくわくラジオ
どうも!算数が不安なあなたを算数ファンに変えちゃう、数学教師芸人のタカタ先生だよ!
ということで、タカタ先生の算数わくわくラジオ、今回も算数がもっともっとわくわくになる、そんな素敵な授業をお届けしていくんですが、今回の生徒もこの方です!
あけましておめでとうございます!
横尾まさこです。
脳狂言のような。
今年ね、一年がスタートしましたから、この放送日。
気合いを入れましたよ。
気合いを入れた脳狂言のような、古典芸能の発声がそんな風になっちゃいましたけど。
素晴らしいことです。
先生、今年もよろしくお願いいたします。
皆様もね、よろしくお願いいたします。
ということで、タカタ先生の算数わくわくラジオ、このポッドキャストをどんどん盛り上げていきたいということでね、オープンチャットも作っておりますし、
そしてジャパンポッドキャストアワード、これが1月10日締め切りですね。
まだギリギリ間に合いますね。
まず1月10日よりも前にこの放送聞いてるよという方は、
ぜひ、ジャパンポッドキャストアワードの清き一票よろしくお願いします。
タカタ先生の算数わくわくラジオ!
ということで、前回ですね、年内最後の放送ということで、年末ジャンボ宝くじに合わせましてね、宝くじの当たる確率、これを学んでいったんですね。
前回はですね、サイコロのギャンブルに勝つために数学者カルダーノさんが、サイコロの確率、ギャンブルの確率というものを求めて、
それを一冊の本に記して、最後にギャンブルに勝つために一番得するためには、数学的にどうすればいいのか。
この結論が、ギャンブルをやらないという。
しないことが一番いいと。
そういうね、結論が出たというお話をお届けしたんですが、
とはいえね、宝くじ、もちろん夢を買うという部分もありますし、
夢と現実とということで、年末ジャンボ宝くじ、一枚だいたい300円ですかね。
その300円買ってどれくらい元が取れる可能性があるのかね。
気になりますね。
といった確率についての、さらに深いわくわくな授業を、今回はお届けしようと思います。
高田先生の算数わくわくラジオ、この番組は算数が不安なあなたを算数ファンに変えちゃうポッドキャスト番組です。
お父さん、お母さん、この番組を車やリビングでBGM代わりにしてください。
お子さんが自然と算数好きになっているかもしれませんよ。
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そしてこの番組を聞いてビビッときたお話は、ぜひ学校の友達とかね、学校の先生とかね、周りの人たちに伝えてください。
あなたは今日から算数の伝導神なのです。
そして余裕があったらノートを開いてね。
三数わくわくノートに、今日習ったことを書きながら聞くのもおすすめです。
それでは授業に参りましょう。4649よろしく。
高田先生の算数わくわくラジオ。
せーの。
いずれ百戦万歩長傾が、徐々に復興して遊びながら復縮を予定する。
お、算数が不安なあなたを算数ファンに変えちゃうよ。
すごい。
ということで、我が番組が誇る万億長傾外、大きな数早口少年2人のお正月大会。
お正月決戦をお聞きいただきましたが、ほぼ同着したかね。
ぴったりぐらいな感じで。
素晴らしい。
オープンチャットの方で皆さんのお子さん、お父さんお母さんでもいいんですよ。
大人の挑戦者。
ちなみにみほこいさん、いけます?万億長傾さん。
ちょっと行ってみますか。
ちょっと待って。
オッケーですよ。早くね早口で。
早口で。
頑張りますよ。
やってみようやってみよう。
できます?そんな技。
わかりました。
キッズVSみほこいまさこの対決です。
高田先生の算数ワクワクラジオ。
せーの。
なんか落ちたよ。
壁目のものが落ちたよ今。
すごい。
負けましたよ。
ちょっとみほこさん怪しかったですね。
途中ね、お手本に沿って言ったみたいな。
わかりました。
ちょっと早いわ。
すごいですね。
しゃべりの仕事してるくせに負けちゃったわ。
いつかリベンジは。
練習あるのみですねこれは。
みほこいさんのお子さんもね。
覚えてますからね。
ちょっと頑張りますね。
オープンチャットいつか我が子も。
チャレンジさせてください。
さあということで。
確率。
期待値っていうことをまずは説明しましょうかね。
期待値。
期待値っていうのは宝くじで言うと
その宝くじ1本が当たる確率×当たる金額。
これが期待値になるわけですね。
例えばですよ。
例えばじゃあじゃんけんして勝ったら1万円あげますよって言われたとしたら
なんだけどエントリーフィーがかかります。
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エントリーフィー?
参加するのにいくらか払ってじゃんけんして勝ったら1万円もらえます。
ってなったらいくらまでだったら参加費出します。
勝ったら1万円ですか?
勝つまで。
でも1万円?
1万円出して勝ったら1万円でいいの?
2000円儲かる。
それはだって負けたらその参加費無駄になるんですよ。
そっかそっか。
8000円損しますもんね。
普通損しますよ。
賞金1万円で8000円も参加費払ったら。
チャレンジのドキドキ感を楽しみたいから
まあそうですね2000円かな。
それはそんなギャンブルはないと思います。
甘くない。
じゃんけんね。
あいこはなしで。
勝ち負け決めるまでじゃんけんするとしたらですよ。
多分どれくらいの確率で勝ちます?
2回に1回ですもんね。勝つか負けるかだから。
2分の1でしょ。
賞金が1万円ってことは2分の1×1万円で5000円。
参加費5000円だったら勝つか負けるか悪くないギャンブルだなっていう感じなんですよ。
もしも参加費8000円だったら絶対損するでしょ。
何回もやってたら。
だからこれはやらない方がいいギャンブルってなるわけですよね。
ということで確率×金額っていうものを計算することで
そのギャンブルは参加費いくらだったら挑戦してもいいのかなっていうのが分かるわけなんですね。
宝くじ、例えば年末ジャンボ宝くじを例に出して考えますとね。
年末ジャンボ宝くじは1枚いくらでしょうか。
300円ですよね。
1等が7億円です。
前後賞合わせると10億円になりますが
一応1等7億円としましょう。
7億円が当たる確率ってどれくらいかご存知ですか。
枚数が全部の枚数分のってことですよね。
そうですね。
売り出されてる枚数。
1ユニットっていうのかな。
1ユニットの中に1等が1本あって
1ユニットの枚数が2000万枚です。
2000万枚。
すなわち2000万分の1の確率で1等7億円が当たります。
ほど遠い。
ということはですよ。
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極端なことを言えば2000万枚全部を購入すれば確実に7億円。
当たりますよね。
2000万枚買ったらいくら使うことになるんだ。
300円×2000万枚は60億円です。
もう破滅やん。
60億円払ったら確実に7億円当たります。
意味ないな。
寄付やん。
利にかなってるけど。
保存って思いますよね。
しかし。
これは正しい期待値の計算ではありません。
実際は1等以外にもたくさん前後賞もあるし2等3等とかもあるし。
そういう1等以外のすべての賞の当選金額×当選金額の確率っていうものを全部計算してそれを合算すると正しい期待値っていうのが出るんですよ。
なんとなくわかります?
本数もそれぞれ増えていきますしね。
2等だったら何円でそれが何本あって3等だったら何円で何本あってっていうね。
それを全部まとめていくと年末ジャンボ宝くじの期待値ってものが正確に求まりまして今回計算しました。
先生ありがとうございます。
1枚300円ですね。
その300円が期待値を計算すると150円になります。
150円か。
つまりだからいっぱい買えば例えば1万円分買ったら5000円分当たるっていうのがなんとなくの期待値です。
そんな感じなんだ宝くじは。
ただ実際は高額当選の方にだいぶ期待値の大部分が占められているので高額の方が当たらない限りはその半分も返ってこないと思います。
だいたいでも感覚的にそんな感じじゃない?
そうですよね。
1万円分買って1個も当たらなかったみたいな人もいるし。
10枚買ったら300円は絶対当たりますよね。
弁番でね。
だいたいどれくらい?いくらくらい戻ってくるかなっていう。
私当たったことないからな。
でもだいたいやっぱり自分が出せる金額っていうのがえい!と思ったら1万いかないくらいだけど。
だいたいちょっと気持ちドキドキくらいだったら20枚とか。
買う金額がそのくらいですもんね。
20枚だと6000円?6000円買って当選で戻ってくるのは?
当たったことない。300円が2枚とか。
それこそ。
10分の1くらいって感じか。
まあそうですよね。
先生は買うんですか?
僕はだから買いません。
カルダーノの教えを守って、こういうものは買わないんですね。
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そうですか。
でも昔ね、確かアメリカでパワーボールっていうね。
知ってます?
パワーボール?
当たったら何億円みたいなやつが毎月とかやられてるのかな。
結構すごい頻度で行われてて。
そのパワーボール面白いのが、当選者が出ない場合もあるんですよ。
そしたらキャリーオーバーって言って、次の月に賞金額が上乗せされるんですね。
っていうのをやっていった時に、とある計算好きのパワーボール好きのおじいさんだったかな。
計算をしたら、今この瞬間買ったら絶対得するっていう瞬間を見つけたんですね。
本当にいろんなところから借金して、パワーボールドカッと買ったら、それで本当に当選した。
一攫千金の夢を掴んだっていう。
まさに数学を生かして算数を生かして。
っていう方もいるみたいですね。
ちょっとずれてたら怖いですね。
そうですね。
計算が。
それでもね、運は運なんですけど。
っていうこともあるので。
この確率、そして期待値っていうものを計算すると。
だいたい1万円分買ったら5000円が当たるかなっていう。
実際はね、本当にね、高額当選の方に期待値の大部分が持ってかれてるんで。
だから実際は多分半分も返ってこないと思います。
もちろんね、夢を買うもんですね。
アルミホイルに包んでね。
そういうことですよ。
天日干ししてね。
31日ね。
開けるときのワクワクってものはもちろんプライスです。
本当そうです。夢をまさに買わせていただいた。
そういう楽しみ方は人それぞれということなんですが。
はい、ではここでサンクトペテルブルクのパラドックスっていう。
有名な期待値のパラドックスの問題がありまして。
パラドックスってそもそもわかります?
聞いたことはある。
どういう意味でしょうか?
宝箱?
それ何?何の間違えてる?宝箱。
宝箱。
宝ドックスって何でしたっけ?
あれ?宝箱ボックス?
パラボックス?宝ボックス?
パラドックスとは、正しく見える前提や論理から納得しがたい結論に行き着く問題。
正しそうって思うんだけど、実際よくよく計算考えてみたら全然予想と違うよっていうね。
それをパラドックスというのか。
そうですね。あれおかしいじゃんって思うようなものをパラドックスって言うんですけど。
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ある有名な宝くじに関するパラドックスがあります。
例えばじゃあ、じゃんけんをして、じゃんけん何連勝したかによって賞金額が変わるっていう、そういうゲームをしましょうか。
1回勝ったら賞金2円。
1回勝った時点でもう2円ゲットです。
2回連続で勝ったら賞金4円です。
3回連続で勝ったら賞金8円です。
こんな感じで、1回多く勝つごとに賞金が2倍2倍に膨れ上がっていくっていうね。
そういうゲームをします。
で、負けた時点でも終了です。
1回でも負けたらそこで終了です。
さあ、このゲーム、参加費、妙高院さんだったらいくらまで払えますか。
1回勝ったら2円。
2回勝ったら4円。
2円プラスさらに4円ももらえる。
3回勝ったら2円4円プラスさらに8円もらえる。
次16円。
次32円。
いやー、4円かな。
4円!?
2回2回は勝つかも知れない。
でもまあ理論上は10回勝ったら1024円。
20回勝ったら100万円超えます。
また目がくらってきますね。
30回勝ったら10億円超えます。
40回勝ったら1兆円を超えます。
うわー。
だから理論上はもう青天井。
勝ち続ければ賞金額はもう永遠に増え続けるわけですね。
甘い話じゃないですか。
そうですよ。
すごいじゃないですか。
そんなね、1兆円とかもらえる可能性のあるギャンブルに妙高院さんは4円しか払わないですか。
ケチさが出てる。
日頃の性格が。
さあどうですか。
5千円?
じゃあ妙高院さん5千円払って、そのギャンブル。
でもねー。
すぐ負けるからね。
やってみましょうか。
じゃあ口じゃんけんでグーチョキパーを言いましょう。
いきます。
最初グーなしでじゃんけんでいきますね。
せーの、じゃんけんグー!
勝った!
1円ゲットです。
あ、ごめん、2円。
2円ゲットです。
さあじゃあ2回戦いきます。
せーの、じゃんけんチョキ!
あ、負けた!もう終わりじゃん。
賞金額2円でした。
5千円。
4998円の損。
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早っ!
まあこういう風になるわけですね。
しかーし!
確かにこれをね、実際やってみると、
まあ本当に4円とか8円ぐらいかなって思うじゃないですか。
でも、実際この期待値を計算してみるとおかしなことが起こります。
いいですか。
まず、1回じゃんけんに勝つ確率って2分の1でしょ。
で、賞金額2円なんで、2分の1かける2円で、
ここの時点で期待値が1円。
ですよね。
で次、2回連続で勝つ場合って、
これ2分の1かけ2分の1なんで4分の1。
それに賞金額が4円なんで、また1円。
2回目勝つ確率の期待値も1円。
3回目勝つ確率は、確率が8分の1で期待値が、賞金額が8円なんで、
やっぱりここでも期待値が1円プラスされます。
これをどんどん繰り返していくと、
1回目で1円、2回目でも1円、3回目でも1円、4回目でも1円、5回目でも1円。
で、ずーっとずーっと加算され続けるので、
期待値を計算すると無限円になります。
なんとなく伝わります。
期待値の計算だけすると無限円になるんですよ。
だから、期待値の額だけ参加費払っても損をしないっていう理論で言うと、
もう無限円、100万円払ったとしても、
このギャンブルは得をするっていう理論になるんですけど、
明らかにおかしいですよね。
でこれ、どこにこの違和感の元があるかっていうと、
賞金額が一応無限に増え続けるじゃないですか。
でも実際その賞金額の限界ってありますよね。
じゃあ仮に賞金額の限界が100万円だとしましょう。
そうすると、100万円って20連勝すれば100万円に到達するんですけど、
でも20回までの期待値の合計って20円なんですよ。
だから賞金額100万円だとしても、
20円参加費でようやく元取れるかなっていう感じ。
しかも20連勝とか普通しないじゃないですか。
だから期待値計算するとそうなるんだけど、
でも実際のもらえる賞金額とはすごいギャップがあるよっていうのが、
これがサンプルとペテルブルクの…
ペテルブルクのパラドックスと言われているんですね。
なるほど。
ということで、確率に関するパラドックスって他にもいろいろあるんですよ。
なのでここからは確率のパラドックスの面白い問題をいくつか紹介しようかなと思います。
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はい、ということで確率のパラドックスのお話をする前にですね、
先ほどちょっとディレクターから注意がありまして、
今我々参加費5000円でジャンケンして賞金額いくらだみたいなね。
これ違法賭博になってしまいますので。
そうか。
本当ですね。
皆さん違法賭博は決してしないように。
あと、これはパラドックススタイルの番組の中での遊びでしたから。
実際にお金の授受はございませんのでね。
ジャパンポッドキャストアワードにエントリーをしている身ですのでね。
そうですね。
そこだけしっかりお伝えしとかんと、あと皆さんもご注意の上。
法律条例重視でこちらの番組をやっておりますのでね。
よろしくお願いします。
さあそれでは確率のパラドックス。
有名なのがね、モンティホール問題という有名な問題があります。
これはね、アメリカのテレビ番組で実際に行われたあるゲームなんですね。
A、B、C、3つの扉がありまして、その扉の中に1つだけ商品が入っています。
じゃあ、みょうこいさんチャレンジャーになりましょう。
A、B、C、3つの扉の中に1つだけ商品が入っています。
じゃあ、みょうこいさんどの扉を選びますか。
C。
なるほど。
そういうことは、3つのうち1つだけ商品が入っているので、
みょうこいさんが選ばなかったAとBのどちらか1つは確実にハズレですよね。
そうですね。
で、僕は正解を知っています。
じゃあ、みょうこいさんにサービス。
普段お世話になっているのでサービスしましょう。
A、Bのうち確実にハズレと僕が分かっているAの扉を今開きました。
ハズレです。何も入ってませんでした。
さあ、みょうこいさん今BとC2つまで絞られましたね。
ここでみょうこいさんにラストチャンスです。
みょうこいさん最初C選んだんですが、最初の自分の直感を信じてCのままにするのか。
それともやっぱりBの方が当たりそうだなということでBに変えるのか。
さあ、みょうこいさんそのままにしますか。
Bに変えます。
なんでですか?
だって先生は今A、Bどちらかをチャンスは言いましょうと。
Aは入っていない。ということはBにある可能性があるんですから。
なるほど。
でもわざわざ僕がそんなことサービスしなくてもよかったのに、わざとAを開けてハズレを1個教えてあげたんですよね。
24:06
で、今変えるチャンスありますよって言ってるんですよね。
なんか怪しくないですか?
いや怪しくない。
Cが当たってるから、変えてほしいからわざとそういう変えるような誘導をしているのかもしれませんよ。
私は素直だからすぐ人の話に乗っかりますよ。
じゃあみょうこいさん変えるでいいですか?
変える。
変えるでいいですか?
いいです。
Bにします。
ブラボー!
信じてよかった。
実はこれ結構有名な問題で、
今、最初みょうこいさんCを選んで、で、僕がハズレのAを開けましたよね。
で、BとCだけ残ったじゃないですか。
この残った時点で当たる確率ってどれくらいだと思います?
Bが当たる確率、Cが当たる確率ってそれぞれ。
Bの方が高い。
高い。どれくらい高い?
ちょっと高い。
何パー何パー?
例えば。
普通だったら2個残ってるんで、2分の1、2分の1。
50パー50パーって思うじゃないですか。
でも実はこれ50パー50パーではないんですよ。
で、みょうこいさんのおっしゃるようにBの方が当たる確率が高いんですよね。
じゃあどれくらいだと思います?
3分の2くらい。
Bが3分の2?
で、Cが3分の1?
つまりBの方がCの2倍当たる確率が高いってこと?
え、あってます?
すごくないですか?
どうしたんですか?
脳が本気を出したんですかね、今。
何か私の?
これまで手を抜いていた。
パラドクスも分からなかったのに。
もらえるよって言った瞬間からの頃。
意地でも当ててやるかん。
物には弱い。
でも脳は強い。
え、当たってます?
そうなんですよ。
でもこれだいぶ直感と反してません?
そうですね。
え、残ってるの2個で2分の1じゃんって思うんですけど、
でも実際はCの方は3分の1。
で、Bの方が3分の2になります。
2あたるんだ。
でね、これはね、実際にこのテレビが放送されたときに、
いろんな数学好きの人たちが、
これはBの当たる確率の方が高いとかね、
これは一緒だとかっていうのが結構議論になりまして。
今の方法だったんですね、その番組も。
1つ取るよっていう。
27:00
で、これに対してアメリカの当時のね、
最高のIQを持つ女性っていう方がいらっしゃいまして、
その方が雑誌の連載コーナーを持ってて、
そこでこの間テレビでやったモンティホール問題の確率について
いろいろな議論がなされていますが、
私、世界最高のIQを持つこの私が正解を述べましょうとかって記事を書いて、
その記事ではBの方が2倍当たる確率が高いということが結論付けられて、
それが一応数学的にも正しいであろうということになっています。
そうですか。
これなんでBの方が2倍高いのか。
これいろんな説明の仕方があって、
結構ね、でもこれ、
なんか納得できるかどうかちょっと分からないんですけど、
ざっくり説明をしますとね。
最初明光位さんC選びましたよね。
これって3分の1の確率ですよね。
3分の1の確率でCを選びました。
で、AとBに入っている確率が3分の2。
で、Cに入っている確率が3分の1なんですよ。
で、僕はこのAとBのうちのハズレの方を引いたので、
ってことは、Cの確率3分の1あって変わってなくないですか。
で、AとBのどっちかに入っている確率3分の2だったうちの片っぽを今消したんで、
Bに入っている確率は3分の2になっているんですよ。
はいはいはい。
だから3分の2と3分の1で、CよりもBの方が2倍当たる確率が高いっていう感じ。
そういうことですね。
伝わった?
今日すごいですね!
今日なんだろう?なんだろうか?
まさこ覚醒!
まさこ覚醒!
ちょっと今ね、いいですね、血の巡りがいいみたいですよ、今は。
妄猜欠陥までいってますよ、今は。
やっぱちょっとパラドックス、妙コインさんと相性いいのかもしれませんね。
ということで、今日はもうそろそろお時間になりましたので、
次回、確率編の最終章といたしまして、
確率のパラドックスの中でも特に有名な誕生日のパラドックス。
こちらについてお話をしていきましょう。
高田先生の算数ワクワクラジオ。
算数が不安なあなたを算数ファンに変えちゃうよ。
聞きたいラジオ番組何にもない。
そんな時間はポッドキャストで過ごしませんか?
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